Analytic continuation of diagonals and Hadamard compositions of multiple power series. (Q2599053)

Nach dem Hadamardschen Multiplikationssatz läßt sich eine Aussage über die analytische Fortsetzung eines Funktionselements \[ A(z)= \sum _{n=0}^\infty a_n z^n \] machen, falls die Koeffizienten \(a_n\) eine Faktorenzerlegung \(a_n = b_n\,c_n\) zulassen, die so beschaffen ist, daß die Regularitätssterne der beiden Elemente \[ B(z)= \sum _{n=0}^\infty b_n z^n,\;\;\;C(z)= \sum _{n=0}^\infty c_n z^n \] bekannt sind. In der vorliegenden Note wird nun gezeigt, daß man allgemeiner eine Aussage über das Regularitätsgebiet von \(A(z)\) schon dann machen kann, wenn man eine Funktion von zwei Veränderlichen \[ F(x,y)= \sum _{m,\,n=0}^\infty f_{mn}\, x^m\,y^n \] finden kann, deren Diagonalkoeffizienten \(f_{nn}\) mit den Koeffizienten \(a_n\) übereinstimmen; und über deren Regularitätsgebiet man geeignete Kenntnisse besitzt. Die Verf. sprechen ihr Ergebnis sogleich in einer allgemeineren Form für Funktionen von mehreren Veränderlichen aus: Ein Gebiet \(S\) des Raumes \(R_n\) von \(n\) komplexen Veränderlichen \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) heiße für positive ganze \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) ein ``\((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern'', wenn mit \((z_1,z_2,\ldots,z_n)\) stets auch die sämtlichen Punkte \((\varrho ^{p_1}z_1,\varrho ^{p_2}z_2,\ldots, \varrho ^{p_n}z_n)\) mit \(0\leqq \varrho <1\) zu \(S\) gehören. Ist \(f(z_1,z_2,\ldots,z_n)\) eine in der Umgebung des Nullpunkts analytische Funktion, so werde insbesondere als ``\((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern von \(f\)'' derjenige \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern verstanden, der genau die Punkte \((z_1,z_2,\ldots,z_n)\) enthält, für die \(f\) in sämtlichen Punkten \((\varrho ^{p_1}z_1\), \(\varrho ^{p_2}z_2,\ldots, \varrho ^{p_n}z_n)\) mit \((0\leqq \varrho \leqq 1)\) regulär ist. Dann gilt: \ Es sei \[ A(z_1,z_2,\ldots,z_n) =\sum a_{\mu_1\,\mu_2\ldots \mu_n}\,z_1^{\mu _1} \,z_2^{\mu _2}\cdots \,z_n^{\mu _n} \] in einer Umgebung des Nullpunkts analytisch und \(S\) ihr \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern. Dann ist die ``Diagonalfunktion'' \[ A_{(z_1,z_2)}\,(w,z_3\ldots,z_n) =\sum a_{mm\mu_3\ldots \mu_n}\,\omega ^m \,z_3^{\mu _3}\cdots \,z_n^{\mu _n} \] in demjenigen \((p_1 + p_2, p_3,\ldots, p_n)\)-Stern des Raums \(R_{n-1}\) der \(n-1\) komplexen Veränderlichen \((w,z_3,\ldots,z_n)\) analytisch, der aus allen Punkten \((w,z_3,\ldots,z_n)\) besteht, zu denen es eine stetige, positive, mit \(2\pi \) periodische Funktion \(r = r (\theta )\) gibt, für die die sämtlichen Punkte \((r\,e^{i\theta }\,w,r^{-1}\,e^{-i\theta }, z_3,\ldots,z_n)\) mit \(0\leqq\theta \leqq 2\pi \) zu \(S\) gehören. Dieser Satz enthält den eingangs genannten Hadamardschen Multiplikationssatz. Er läßt sich durch Iteration der Diagonalbildung so verallgemeinern, daß ein Satz entsteht, der ein Analogon des Hadamardschen Multiplikationssatzes für Funktionen von zwei Veränderlichen (oder beliebig \(n\) Veränderlichen) enthält. Das sich so ergebende zweidimensionale Analogon des Hadamardschen Satzes ist verschieden von den Verallgemeinerungen, die dieser Satz durch \textit{U. S. Haslam-Jones} (Proc. London math. Soc. (2) 27 (1927), 223-232; F. d. M. 53, 315 (JFM 53.0315.*)) sowie \textit{S. Bochner} und \textit{W. T. Martin} (Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 293-302; JFM 63.0306.*) auf Funktionen von mehreren Veränderlichen erfahren hat.