Zur Theorie der analytischen Abbildungen im Raume zweier komplexer Veränderlichen. Das Verhalten der Abbildung auf glatten analytischen Randhyperflächen. (Q2599061)

Im Gegensatz zur klassischen Theorie sind im Raum zweier komplexer Veränderlichen zwei beschränkte Bereiche schon nicht mehr aufeinander abbildbar, wenn der eine Bereich -- aber nicht der andere -- auf seinem Rande ein noch so kleines Stück einer analytischen Hyperfläche besitzt. Von dem Beweis dieser Aussage geht die Arbeit aus. Insbesondere werden dann die Bereiche untersucht, die nur von analytischen Hyperflächen berandet werden. Es seien \(a_\nu (w', z')= \gamma _\nu (t)\), \(0 \leqq t \leqq 1\), \(\nu = 1, 2, \ldots,p\), die Randflächen von \(\mathfrak B'\) mit analytischen \(a_\nu \). Dann muß es auf dem Rande von \(\mathfrak B\) eine analytische Hyperfläche \(l(w, z) = \gamma _0(t)\) geben, sodaß für ein geeignetes, analytisches \(F (Z)\) gilt \[ a_\nu (w',z')\equiv F(l(w,z)).\tag{1} \] Wird auch \(\mathfrak B'\) nur von analytischen Hyperflächen berandet, so werden bei jeder Abbildung von \(\mathfrak B\) auf \(\mathfrak B'\) die verschiedenen Randflächen ein-eindeutig aufeinander bezogen, und zwischen ihnen gelten paarweise die Beziehungen (1). Daraus ergeben sich sofort Gleichungen für die Transformationsfunktionen \[ \begin{matrix} \r&\l\\ w'&=f(w,z),\\ z'&=g(w,z). \end{matrix} \] Auf diese Weise gelingt es dann zum ersten Male, völlig starre Regularitätsbereiche aufzustellen, eine Aufgabe, die von Henri Cartan 1931 in ihrer Bedeutung zuerst erkannt und formuliert wurde.