Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung. (Q2599095)

Mit \(| q | < 1\) führe man die Bezeichnung ein \[ \prod_{n=0}^{m-1} (1 + xq^n)=\prod\nolimits_m(x,q). \] Nach \textit{Ramanujan} und \textit{Watson} kann dann auf elliptische Thetafunktionen \(\vartheta (x, q)\) folgender Ausdruck zurückgebracht werden: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n^2}}{\prod\nolimits_n(q^2,q^2)} =\vartheta_4(0,-q) \prod\nolimits_\infty(q,q^2) +O(1). \] Verf. zeigt durch geeignete Umsetzungen und Größenschätzungen, wenn \[ \frac1{\prod\nolimits_\infty(-q^2,q^2)} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{\tfrac{7n^2+n}2} =A(q) \] gesetzt wird, die folgende Abschätzung: \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{q^{n^2}}{\prod\nolimits_n(-q^{n+1},q)} = \frac1{\prod\nolimits_\infty(-q^{\frac14},q^{\frac12})} \vartheta_4(0,-q^{\frac14}) A(-q^{\frac14}) +O(1). \]