Analytical groups. (Q2599096)

Es wird eine Neubegründung der Theorie der Gruppenkeime gegeben, die auch gewisse unendlich dimensionale kontinuierliche Gruppen umfaßt. Grundbegriff ist die ``analytische Gruppe \(G\)''. Damit wird eine Umgebung von 0 in einem vollständigen Banachraum bezeichnet, für deren Elemente in der Nähe von 0 eine assoziative Multiplikation erklärt ist, die den Bedingungen \(x \cdot 0 = 0 \cdot x = x\), \(|(xa - xb) -(a - b)|\leqq M(|x |+ |b|+ |a |)\cdot |a- b|\), \(|(ay -by)-(a-b)| \leqq M(|a|+|b| + |y| )\cdot |a-b|\) genügt; dabei ist \(|x|\) der Betrag von \(x\) im Sinn der Metrik des Banachraumes, \(M(y)\) eine positive, mit \(y\) gegen Null gehende Funktion. Es wird gezeigt, daß jede analytische Gruppe einen im üblichen Sinn topologischen Gruppenkeim umfaßt. Umgekehrt ist ein topologischer Gruppenkeim, in dem eine Umgebung der Identität \(e\) auf ein Gebiet eines Banachraumes so abgebildet werden kann, daß \(x\cdot y = f (x, y)\) überall erste totale in \(e\) stetige Ableitungen im Sinn von Fréchet hat, eine analytische Gruppe. Es wird dann eine Klasse von Transformationen des Banachraumes angegeben, durch die \(G\) in eine topologisch isomorphe Gruppe übergeführt wird. Dann wird eine Addition und Multiplikation der Wege in \(G\) erklärt, der Raum der Wege wird metrisiert, und damit werden kanonische Parameter in jeder analytischen Gruppe eingeführt. In kanonischen Parametern wird \(\lambda x =x^\lambda\), ferner ist \[ x + y = \lim_{\lambda\to0} (\lambda x \cdot\lambda y)/\lambda. \] Daraus folgt, daß jeder topologische Isomorphismus zwischen zwei analytischen Gruppen in kanonischen Parametern gleichzeitig linear ist. In Kap. III werden als Beispiel die linearen Gruppen betrachtet, die aus den invertierbaren linearen Abbildungen \(X = I + T\) eines Banachraumes in sich gebildet werden, \(I\) die identische Abbildung. Die kanonische Transformation wird durch \(\exp (T) - I \to T\) gegeben. Die explizite Reihenentwicklung für \(X\cdot Y\) in kanonischen Parametern ergibt sich dann in bekannter Weise. Kap. IV bringt die Theorie des Klammersymbols \([x, y]\) in analytischen Gruppen. Ist \((x, y) = x^{-1}y^{-1}xy\), so wird \([x, y] = \lim\limits_{\lambda,\mu\to0} \dfrac1{\lambda\mu} (\lambda x, \mu y)\) gesetzt. Bei Einführung dieser nichtassoziativen Multiplikation wird der Banachraum zu einer metrischen Liealgebra \(L (G)\). In Kap. V wird allgemein gezeigt, daß die Zusammensetzungsfunktion \(xy = f(x, y)\) sich bei Zugrundelegung kanonischer Parameter als unendliche Reihe in Polynomen von \([x, y]\) schreiben läßt. Daraus ergibt sich, daß analytische Gruppen dann und nur dann im Kleinen topologisch isomorph sind, wenn ihre Liealgebren topologisch isomorph sind. Ferner wird gezeigt, daß jede metrische Liealgebra zu einer analytischen Gruppe gehört. Analytische Untergruppen von \(L\) und abgeschlossene Teilalgebren von \(L (G)\) entsprechen sich eineindeutig. Eine lokal kompakte analytische Gruppe ist eine Liesche Gruppe im üblichen Sinn.