Analytische Funktionale. (Q2599121)

Verf. betrachtet komplexe Funktionale \(f(z)\), wo \(z\) einen Punkt eines vollständigen komplexen normierten linearen Raumes \(Z\) bedeutet. Das Funktional \(f (z) \) heißt in einem Gebiet analytisch, wenn es dort lokal (d. h. in einer Umgebung eines jeden Punktes) beschränkt ist und in jedem Punkte ein schwaches Differential besitzt (d. h. es existiert \(\lim\limits_{t\to0} \dfrac{f(z+th)-f(z)}t\) für jedes \(h \in Z\) mit der Norm \(\| h \| = 1\), unabhängig vom Wege, auf dem die komplexe Zahl \(t\) gegen 0 strebt). Mit Hilfe der Cauchyschen Integraldarstellung von \(f (z)\) beweist Verf., daß ein solches analytisches Funktional ein starkes Differential \(A_1(z, h)\) im Sinne von Fréchet besitzt (d. h. ein bezüglich \(h\) lineares Funktional \(A_1(z, h)\) mit \(f(z + h) - f(z) = A_1 (z, h) + \varepsilon \| h \|\), wo \(\varepsilon \to0\) mit \(\|h\|\to0\)), sowie alle höheren (iterierten) starken Differentiale \(A_n(z, h_1, \ldots, h_n)\). Ferner wird gezeigt, daß ein analytisches Funktional \(f(z)\) sich in die ``Taylorsche Reihe'' \[ f (z + h) = f(z) + A_1(z, h) + \frac1{2!} A_2(z, h,h) + \cdots + \frac1{n!}A_n (z,h,h, \ldots,h) + \cdots \] entwickeln läßt.