Sur les propriétés asymptotiques des solutions d'un système d'équations différentielles linéaires contenant un paramètre. (Q2599246)

Verf. betrachtet das Differentialgleichungssystem \[ (y_k') = (y_k)A(x,\lambda ) \tag{1} \] unter verschiedenen Annahmen über die Abhängigkeit der Elemente der Matrix \(A\) von der reellen oder komplexen unabhängigen Veränderlichen \(x\) und von dem komplexen Parameter \(\lambda\). \(A\) gestattet stets eine Entwicklung \[ A = \sum\limits_{\nu = m}^\infty A_\nu\lambda^{-\nu}, \tag{2} \] die für \(|\lambda| > R\) konvergiert oder für \(\lambda\to\infty\) in einem Gebiet \(D\) asymptotisch ist; daneben treten von Fall zu Fall hier nicht im einzelnen wiederzugebende Voraussetzungen über Stetigkeit von \(A\) in \(x, \lambda\) bzw. Stetigkeit und Differenzierbarkeit nach \(x\) bei den \(A_\nu\). Für reelle \(x\) \((\alpha\leqq x\leqq\beta )\) wird zunächst im Falle \(m\geqq 0\) die Existenz eines Fundamentalsystems mit entsprechender Darstellung gezeigt. Dann folgen Sätze über formale Reduktion von (1) auf Normalformen. So läßt sich durch eine Transformation \(Y = Y^*P\), in der \(P\) nur Polynome hinsichtlich \(\lambda^* = \lambda^{\tfrac{1}{\beta}}\) (\(\beta > 0\), ganz) enthält, (1) in die Form bringen \[ V'^* = V^*(F+A^*); \tag{3} \] hier hat \(F = (f_j\delta_{jk})\) volle Diagonalgestalt mit Elementen, die Polynome in \(\lambda^*\) sind, während für \(A^*\) in der (2) entsprechenden Entwicklung \(m> 0\) ist. Diese Form (3) wird dann (unter Weglassung der Sterne) zugrundegelegt. Falls die sämtlichen Größen \(\mathfrak{R}(f_j - f_k)\) für \(\alpha\leqq x\leqq\beta\), \(\lambda\in D\) ihr Zeichen nicht wechseln \((j, k = 1, 2,\ldots,n)\), gibt es ein Fundamentalsystem mit asymptotischer Darstellung \[ y_{jk} \sim e^{F_k(x,\lambda )}\sum\limits_{r=1}^\infty p_{jk,r}(x) \lambda^{-r} \qquad \left(F_k = \int f_k(x,\lambda)\, dx\right). \] Aber auch beim Auftreten von Vorzeichenwechseln ganz bestimmter Art werden einzelne Lösungen mit derartigen Darstellungen erhalten; hierin dürfte in der Hauptsache das sachlich Neue der Arbeit gelegen sein. Zum Schluß folgen Übertragungen auf komplexes, in einem einfach zusammenhängenden Gebiet veränderliches \(x\), auf dessen Randkurve die \(\mathfrak{R}f_j\) gewisse Ungleichungen erfüllen müssen. Methodisch beruht die Arbeit in wesentlichen Punkten auf früheren Hilfssätzen des Verf. (J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., I 2 (1934), 13-88; 5 (1937), 123-166; JFM 60.0377.* und vorstehende Besprechung).