On a method of solving certain problems of the diffraction theory and other related problems. (Q2599283)

Die Methode beruht auf einer Integraltransformation, für die die folgende Umkehrformel bewiesen wird. \(k=|k|e^{-i\alpha}\) sei eine komplexe Zahl mit \(0 <\alpha < \pi\). \(\omega(\nu)\) sei eine Funktion der komplexen Veränderlichen \(\nu=\sigma+i\tau\), die den folgenden Bedingungen genügen möge: 1. \(\omega(\nu)\) sei holomorph für \(|\sigma|<\delta\)(\(\delta>0\)); 2. \(\omega(-\nu)=\omega(\nu)\); 3. \(\psi (\sigma,\tau) = | (\sigma+i\tau)\omega (\sigma+i\tau)| e^{\alpha\tau+\frac\pi2(|\tau|-\tau)}\to0\) bei \(|\tau|\to0\) gleichmäßig für \(|\sigma|<\delta\). 4. \({\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\psi(\sigma,\tau)\, d\tau\) möge für \(|\sigma|<\delta\) existieren. Dann gilt, wenn man \[ \varphi (kr) = -\tfrac12{\int\limits_{-i\infty}^{+i\infty}} \mu\omega(\mu) e^{\tfrac{i\pi\mu}2} J_\mu(kr)\, d\mu \] setzt, wo \(r\) eine beliebige positive Zahl bedeutet, für \(|\sigma|<\delta\) die Beziehung \[ \omega(\nu)={\int\limits_{0}^{\infty}}\varphi(kr)e^{-\tfrac{i\nu\pi}2} \frac{H_\nu^{(2)}(kr)}r\,dr. \] Dabei ist \(J_\mu(x)\) die Besselsche, \(H_\nu^{(2)}(x)\) die Hankelsche Funktion. Dieser Satz wird auf die Auflösung der Gleichung \[ r^2\dfrac{\partial^2u}{\partial r^2}+ r\dfrac{\partial u}{\partial r}+ \dfrac{\partial^2u}{\partial \theta^2}+k^2r^2u=0,\quad\mathfrak I(k)<0, \] angewendet, indem \[ v = u - u(0) e^{-ikr},\quad w (\nu) ={\int\limits_{0}^{\infty}}v(r)\frac{H_\nu^{(2)}(kr)}r\,dr \] gesetzt wird, wo \(u(0)\) den Wert von \(u\) für \(r = 0\) bedeutet. Die Anwendung der Me\-thode wird an einem speziellen Beispiel ausführlich dargestellt. (IV 8 B.)