Remarks on Plateau's and Douglas's problem. (Q2599364)

Verf. skizziert eine Ausdehnung seiner Methode zur Lösung des Plateauschen Problems (vgl. Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 679-724; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1067) auf den Fall vorgeschriebenen höheren Geschlechts. Das zugrunde zu legende Variations\-problem ist, sinngemäß abgeändert, dasselbe wie früher. Als Normalgestalt des Defini\-tionsbereichs für den Vektor \(\mathfrak x\) wird im Fall des Geschlechts \(p=0\) ein \(k\)-blättriger Ein\-heitskreis gewählt (\(k\): Anzahl der vorgegebenen Raumkurven); im Falle höheren Geschlechts wird er durch Vollebenen, deren jede mit vier Verzweigungspunkten an\-geheftet wird, erweitert. Der Beweis dafür, daß die Lösung des Variationsproblems eine Minimalfläche darstellt, führt dann z. B. bei \(p = 0\) auf folgendes Problem: \(\varphi(w)\) sei in einem \(k\)-blättrigen Einheitskreis mit \(k\) Randkomponenten regulär bis auf höchstens \(2k-2\) Pole (in jedem Verzweigungspunkt der Ordnung \(p\) kann ein Pol derselben Ord\-nung auftreten), und auf dem Rande sei \(w^2\varphi(w)\) reell; zu beweisen, daß \(\varphi(\omega)\) identisch verschwindet. Als Korollar erhält man einen Beweis für die konforme Abbildbarkeit eines \(k\)-fach zusammenhängenden Bereichs auf eine \(k\)-blättrige Kreisscheibe. (IV 4 H.)