A set of independent axioms for probability. (Q2599379)

Einer Axiomatik der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird gewöhnlich der Funk\-tor \(p(x_1,x_2)\), zu lesen ``die Wahrscheinlichkeit von \(x_1\) in bezug auf \(x_2\)'' zugrunde gelegt. Verf. nimmt statt dessen die absolute Wahrscheinlichkeit \(pa(x_1)\), die mit \(p(x_1, \overline{x_2\mathrel{\&}\overline{x}_2})\) bei beliebigen \(x_2\) identisch wäre, als primitiven Begriff.\ \ \(p(x_1, x_2)\) läßt sich dann durch \(\dfrac{pa(x_1\mathrel{\&}x_2)}{pa(x_2)}\) definieren. Die Axiome für \(pa(x)\) sind: \[ \displaylines{ \text{A } 1.\;pa(x_1\mathrel{\&} x_2)\geqq pa (x_2\mathrel{\&} x_1);\hfill \text{A } 2.\;pa \big(x_1\mathrel{\&} (\overline{x_2\mathrel{\&} x_3})\big)= pa \big( \overline{\overline{x_1\mathrel{\&} \overline{x}_2}\mathrel{\&} \overline{x_1\mathrel{\&} \overline{x}_3}});\cr \text{A } 3.\quad pa \big(x_1\mathrel{\&} (\overline{x_2\mathrel{\&} x_3})\big)\geqq pa(x_1);\qquad \text{A } 4.\quad (Ex)(pa(x)\neq0).\cr \text{B } 1. \;pa(x_1)\geqq pa (x_1\mathrel{\&} x_2),\hfill \text{B } 2. \;pa \big( \overline{\overline{x_1\mathrel{\&} \overline{x}_2} \mathrel{\&}\overline{x_1\mathrel{\&} \overline{\overline{x}}_2}})= pa(x_1\mathrel{\&} x_2)+ pa (x_1\mathrel{\&} \overline{x}_2),\cr \text{B } 3.\quad pa(x_1\mathrel{\&}(\overline{x}_1\mathrel{\&}\overline{x}_1)) = pa(x_1)\cdot pa(\overline{x_1\mathrel{\&} \overline{x}_1}).\cr } \] Der Unabhängigkeitsbeweis wird nur angekündigt. (II.)