A modification of Bayes' problem. (Q2599396)

Gegeben sind \(n\) Urnen, die weiße und schwarze Kugeln enthalten. Die Wahr\-scheinlichkeit \(p_\nu\), eine schwarze Kugel aus der \(\nu\)-ten Urne zu ziehen, ist unbekannt; gegeben ist die von \(\nu\) unabhängige a priori-Wahrscheinlichkeit \(F (x)\) dafür, daß \(p_\nu\leqq x\) ist. Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen, wobei \(m\) schwarze und \(n - m\) weiße Ku\-geln erscheinen. Man setzt \[ \frac{p_1+p_2+\cdots+p_n}n=p \] und fragt nach der a posteriori-Wahrscheinlichkeit \(P_n(x)\) dafür, daß \(p\leqq x\) ist. Es ergibt sich: Wenn die ersten drei Momente der a priori-Verteilungsfunktion \(F (x)\) \[ b_\nu ={\int\limits_{0}^{1}}x^\nu dF(x)\qquad (\nu = 1,2,3) \] existieren, und wenn die Streuung \(b_2-b_1^2\) von Null verschieden ist, dann gilt unter der Bedingung \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac mn=\alpha\) \[ \lim_{n\to\infty}\left[P_n(x)-\frac1{\sqrt\pi}{\int\limits_{-\infty}^{u}} e^{-u^2}du\right]=0,\quad u = H_n(x -A_n) \] mit \[ A_n=\alpha\frac{b_2}{b_1}+(1-\alpha)\frac{b_1-b_2}{1-b_1} \] und \[ \frac1{2H{}_n^2}=\frac1n\bigg[\alpha\frac{b_1b_3-b_2^2}{b_1^2}+ (1-\alpha)\frac{(b_2-b_3)(1-b_1)-(b_1-b_2)^2}{(1-b_1)^2}\bigg]. \] Der Einfluß der a priori-Wahrseheinlichkeit verschwindet also bei diesem abgeänderten \textit{Bayes}schen Problem \textit{nicht}. Für den Sonderfall \(F'(x)= Cx^k(1 - x)^l\) werden die For\-meln weiter diskutiert.