Notes on the distribution of the geometric mean. (Q2599402)

\(u_1\), \(u_2\),\dots, \(u_n\) seien unabhängige Beobachtungen einer stochastischen Größe \(u\) mit bekanntem Verteilungsgesetz. \(\xi = \gamma(u_1,u_2,\dots,u_n)\) habe die Verteilungsdichte \(F(\xi)\). Es wird eine einfache Bedingung dafür angegeben, daß eine auf u angewandte Trans\-formation \(u = \theta(t)\) die Verteilungsdichte \(F (\xi)\) von \(\xi\) ungeändert läßt. \textit{Anwendung}: Sei \(\xi=\dfrac{u_1+\cdots+u_N}N\) und \(\psi(u)=\dfrac{e^{-u}u^{p-1}}{\varGamma(p)}\) die Verteilungsdichte von \(u\). Die Verteilungsdichte von \(\xi\) wird dann \(F(\xi)=\dfrac{Ne^{-N\xi}(N\xi)^{Np-1}}{\varGamma(Np)}\). \noindent Die Transformation \(u=\log t\) liefert \(\xi=\log(t_1\cdots t_N)^{1/N}\) und als Verteilungsdichte \(\varPhi(t)\) für die stochastische Veränderliche \(t\) \[ \varPhi(t)=\dfrac{(\log t)^{p-1}}{t^2\varGamma(p)}. \] Damit wird die Verteilungsdichte des geometrischen Mittels \(x=(t_1\cdots t_N)^{1/N}\) gleich \[ f(x)=\frac{N^{Np}(\log x)^{Np-1}}{x^{N+1}\varGamma(Np)}. \] Es folgt noch ein ähnliches Beispiel.