Sur l'itération des substitutions algébriques linéaires à une infinité de variables et ses applications à la théorie des probabilités en chaîne. (Q2599408)

Für Markoffsche Ketten mit abzählbar und nicht abzählbar unendlich vielen Zuständen wird das Verhalten der \(n\)-ten Iterierten \(P^{(n)}_{ik}\) und \(P^{(n)}(E, F)\) der Übergangswahrscheinlichkeiten \(p_{ik}\) bzw. der Wahrscheinlichkeitsdichten \(p (E, F)\) als Funktion von \(n\) untersucht. Zum Teil lassen sich die aus der Theorie der Ketten mit endlich vielen Zuständen bekannten Schlußweisen übertragen. Darüber hinausgehend wird eine ausführliche Theorie der linearen algebraischen Substitutionen \(y_i =\sum\limits_{k=1}^\infty p_{ik}x_k\) im Raum \(D_\omega\) (in der Bezeichnung von Fréchet) gegeben. Diese Operationen sind nur ausnahmsweise vollstetig. Die Ergebnisse werden auf allgemeine lineare Operationen ausgedehnt. Als Anwendungen werden ferner die von Onicescu und Mihoc betrachteten Ketten ``à liaison complète'' behandelt. Bei der Untersuchung der \(n\)-ten Iterierten \(U^{(n)}\) einer vollstetigen Operation \(U\) als Funktion von \(n\) beschränkt sich Verf. auf lineare algebraische Substitutionen im Hilbertraum. Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit sind bereits in folgenden Noten zusammengefaßt worden: C. R. Acad. Sci., Paris, 201 (1935), 184-186; 202 (1936), 1362-1364; 204 (1937); 315-317, 1543-1545 (JFM 61.0562.*; 62\(_{\text{I}}\), 607; 63\(_{\text{I}}\); 504, 351). (IV 8 A.)