Zur Lösung einer biologischen Aufgabe. (Q2599507)

Verf. ergänzt die Untersuchungen von \textit{R. A. Fisher} (The genetical theory of natural selection, 1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 1106) und \textit{J. F. Steffensen} (Ann. Inst. Henri Poincaré 3 (1933), 319-344; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1176) über die Verbreitung und das Aussterben der Nachkommenschaft eines Individuums, indem er gewisse asymptotische Formeln ableitet. \(F_0, F_1, \dots\) sei eine Folge von Generationen. In \(F_0\) möge es \(K_0\) Individuen mit dem Merkmal \(M\) (kurz \(M\)-Individuen) geben. Kreuzungen zwischen \(M\)-Individuen seien ausgeschlossen. Ein jedes \(M\)-Individuum aus \(F_{n+1}\) möge von einem bestimmten \(M\)-Individuum aus \(F_n\) abstammen. Gegeben seien die Wahrscheinlichkeiten \(p_k\) dafür, daß ein \(M\)-Individuum aus \(F_n\) genau \(k\) \ \(M\)-Nachkommen in \(F_{n+1}\) hat; diese Wahrscheinlichkeiten seien unabhängig vom Schicksal der anderen Zweige der \(M\)-Nachkommenschaft. Die drei ersten Faktormomente \[ a = \sum_{k=1}^\infty k p_k, \quad b = \sum_{k=1}^\infty k(k-1) p_k, \quad c = \sum_{k=1}^\infty k(k-1)(k-2) p_k \] mögen existieren. \(P_0^{(n)}\) \((n \geqq 1)\) sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in \(F_n\) keine \(M\)-Individuen mehr vorhanden sind. Verf. beweist die asymptotischen Beziehungen \[ 1 - P_0^{(n)} \sim C K_0 a^n \qquad (a < 1), \] wo \(C\) eine passende Konstante bedeutet und \[ 1 - P_0^{(n)} \sim \frac{2 K_0}{nb} \qquad (a = 1, \;b > 0); \] ist schließlich \(a > 1\) und ist \(a - 1\) klein gegenüber 1 und \(b > 0\), so gilt für die nach Steffensen existierende Aussterbewahrscheinlichkeit \(P_0 = \lim\limits_{n\to\infty} P_0^{(n)}\) \[ 1 - P_0 \sim \frac{2K_0(a - 1)}{b}. \]