Sul calcolo del coefficiente riduttivo del tasso annuo di morbilità. (Q2599537)

Ausgehend von der Entwicklung \[ e^{\theta(t - t^{-1})} = J_0(2\theta) + \sum_{h=1}^\infty J_h(2\theta) \sum_{n=0}^h H_{[h, n]} \cdot (t - t^{-1})^n, \] wo \(J_n\) Besselsche Funktionen bedeuten und die nur für gleichzeitig gerade oder ungerade \(h\), \(n\) nicht verschwindenden Koeffizienten \[ H_{[h, n]} = \frac{\left(\dfrac{h+n}{2} - 1\right)! \,h} {\left(\dfrac{h-n}{2}\right)!\, n!} \] lauten, gewinnt Verf. für das im Kinkelinschen Reduktionsfaktor \[ R(t) = \frac{\int\limits_0^t ks^x g^{(c+x)^{-1}}\,dx}{\int\limits_0^1 ks^x g^{(c+x)^{-1}}\,dx} = C \cdot e^{k_0 + ac} \int\limits_c^{c+t} e^{-az + bz^{-1}}\,dz, \qquad (0 < t \leqq 1) \] der jährlichen Erkrankungsziffer auftretende Integral die Darstellung: \[ \int\limits_c^{c+t} e^{-az + bz^{-1}}\, dz = J_0(2b) \,y_0(a) + \sum_{h=1}^\infty J_h(2b) \sum_{n=0}^h H_{[h, n]}\cdot y_n(a); \] die Koeffizienten \[ y_n(a) = \int\limits_c^{c+t} z^{-n} e^{-az}\, dz \] lassen sich durch die Rekursionsgleichung \[ y_n(a) = \frac 1a \cdot\{c^{-n} e^{-ae} - (c + t)^{-n} e^{-a(c+t)} - n \cdot y_{n+1}(a)\} \] auf bei \textit{Jahnke-Emde} (Funktionentafeln (Leipzig 1933 ; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 539), 83) tabulierte Ausdrücke zurückführen. Als weitere Anwendung der Ausgangsrelation gibt Verf. eine neue Darstellung des bereits früher von ihm (Giorn. Mat. finanz. (2) 7 (1937), 22-29; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1125) berechneten speziellen Rentenbarwertes bei schwankender Zinsintensität.