Über einige Komponenten-Gruppen, die topologische Invarianten sind. (Q2599663)

Sei \(R\) ein kompakter zusammenhängender örtlich zusammenziehbarer Raum. Mit \(M_i^n\) wird die topologische Summe von \(i\) \(n\)-Torussen bezeichnet (entstanden durch Ausschneiden je eines \(n\)-Elementes und Zusammenkleben). \(R_i^n\) sei der Raum der stetigen Abbildungen von \(M_i^n\) in \(R\) mit festgehaltenem Bild \(y\) eines Punktes \(x\) von \(M_i^n\). \(F_i^{n+1}\) sei die Wegegruppe derjenigen Komponente von \(R_i^n\), die die Abbildung von ganz \(M_i^n\) auf \(y\) enthält. Dann ist \(F_i^{n+1}\) homomorph in \(F_{i+1}^{n+1}\) abgebildet. Die Grenzgruppe der Folge \(F_1^{n+1}\), \(F_2^{n+1},\ldots \) heißt die Komponentengruppe \(\mathfrak K^{n+1}\). Sie ist nicht immer kommutativ. Ihre Beziehungen zur Homotopiegruppe nach Hurewicz und zu den Homologiegruppen werden angegeben. Nun unterscheide man nicht zwischen zwei Abbildungen aus \(R_i^n\) wenn sie sich nur durch eine topologische Selbstabbildung von \(M_i^n\) mit festgehaltenem \(x\) unterscheiden. Die Punkte des so entstehenden Raumes \(Q_i^n\) werden gewissen Punkten von \(Q_{i+1}^n\) zugeordnet. Für die Komponenten des so erhaltenen Raumes wird eine Komposition und eine Klasseneinteilung erklärt, und es zeigt sich, daß die Klassen mit der erklärten Komposition eine kommutative Gruppe \(K^n\) bilden. Über diese werden entsprechende Angaben gemacht wie vorher über \(\mathfrak K^{n+1}\).