Periodic transformations of complexes. (Q2599675)

Es werden eineindeutige stetige Abbildungen \(T\) eines Komplexes \(S\) auf sich betrachtet, die periodisch sind, also einer Gleichung \(T^m=1\) genügen. Für die Äquivalenzklassen solcher Abbildungen (vgl. das vorangehende Referat) werden Invarianten, und zwar im wesentlichen Homologieinvarianten aufgestellt. Dabei wird \(S\) als Simplizialkomplex vorausgesetzt und \(T\) als eineindeutige simpliziale Abbildung, die dann von selbst von endlicher Ordnung \(m\) ist. Auch in der Definition der Äquivalenz \(T \sim \tau^{-1}T\tau\) wird die vermittelnde Abbildung \(\tau\) als eineindeutig und simplizial vorausgesetzt. Für die Übertragung der so gewonnenen Ergebnisse auf das Gebiet der Stetigkeitstopologie wird auf andere Arbeiten der Verf. verwiesen (\textit{P. A. Smith}, vgl. die vorstehend besprochene Arbeit; \textit{M. Richardson}, Proc. nat. Acad. Sci. USA 24 (1938), 21-23; JFM 64.0600.*). \(T\) und die Potenzen von \(T\), ferner besonders die Ausdrücke \(\sigma=1 + T + \cdots + T^{m-1}\) und \(\delta=1-T\) werden als Operatoren für die Homologiegruppen benutzt. Eine Kette \(\mathfrak c\) heißt \(\varrho\)-Kette für ein Polynom \(\varrho(T)\) von \(T\) mit ganzen Koeffizienten, wenn \(\varrho \mathfrak c=0\). Die ``spezielle \(h\)-dimensionale Homologiegruppe'' \(H_h^\varrho\) ist die Faktorgruppe der \(h\)-dimensionalen \(g\)-Zyklen nach der Gruppe derjenigen \(g\)-Zyklen, die \((h+1)\)-dimensionale Zyklen beranden. Eine entsprechende Bildung \(H_h^{\varrho^L}\) erhält man, indem man mod \(L\), dem Komplex der bei \(T\) invarianten Simplexe, rechnet. Andere Invarianten ergeben sich durch die Automorphismen, die durch \(T\) in den Homologiegruppen induziert werden, ferner durch die Untergruppen derjenigen Homologieklassen \(C\), für die \(\delta^iC=0\) mit ganzzahligem \(i\) ist. Eine wichtige Rolle spielt der Modulraum (vgl. das vorangehende Referat), insbesondere dessen Homologieinvarianten. Besonders eingehend untersucht wird der Spezialfall, daß \(S\) das \(m\)-fache topologische Produkt eines Raumes \(K\) ist und \(T\) die durch zyklische Vertauschung der Faktoren resultierende Abbildung der Ordnung \(m\). Der entsprechende Modulraum wird genauer untersucht, und seine Homologiegruppen mod \(m\). werden im Falle einer Primzahl \(m\) vollständig bestimmt.