Discussion of a set of points in terms of their mutual distances. (Q2599769)

Sind \(P_1\), \(P_2\), \dots, \(P_n\) Punkte eines euklidischen Raumes mit den gegenseitigen Entfernungen \(\overline{P_iP_k}= d_{ik}\), so ist die Dimensionszahl des Raumes kleinster Dimension, welcher die Punktgruppe \(\{P_i\}\) enthält, dem Range der Matrix \(\left(\dfrac{d_{1i}^2+d_{1k}^2-d_{ik}^2}2\right)_{i,k=2,3, \ldots, n}\) gleich. Hieraus wird gefolgert, daß die ``Dimensionalität'' der Punktgruppe \(\{P_i\}\) nicht größer sein kann, als der Rang der Cayleyschen Matrix \( \begin{pmatrix} d_{ik}^2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) (1 steht für die Zeile 1, \dots, 1 bzw. die entsprechende Spalte). Zum Schluß wird der folgende, schon von \textit{K. Menger} (Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl. Anz. 65 (1928); 14, 14-16, 16-17; F. d. M. 54, 623 (JFM 54.0623.*)) ausgesprochene Satz direkt bewiesen: Zu \( \binom n2\) gegebenen, nichtnegativen Zahlen \(d_{ik} = d_{ki}\) (\(i, k = 1\), 2, \dots, \(n,d_{is}= 0\)) gibt es dann und nur dann eine reelle euklidische Punktgruppe \(\{P_i\}\) mit den gegenseitigen Entfernungen \(\overline{P_iP_k}=d_{ik}\), wenn die obengenannte Matrix der Größen \(\dfrac{d_{1i}^2+d_{1k}^2-d_{ik}^2}2\) positiv semidefinit ist.