On extensions of Pascal's theorem. II. Paul Serret's theorem. (Q2599784)

(Fortsetzung von Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 5 (1936), 55-62; JFM 62.0765.*.) Ein System von \(2n + 2\) Punkten in \([n]\) heißt ein \textit{System assoziierter Punkte}, wenn jede \(M^2\), die durch \(2n+1\) der Punkte läuft, auch den letzten Punkt enthält. Die Haupteigenschaft eines Systems assoziierter Punkte, die Tatsache, daß die Punkte Eckpunkte zweier Polarsimplexe einer \(M^2\) sind, wird aus einem Satze von \textit{Paul Serret} (Géométrie de direction, 1869) abgeleitet. Dieser gibt in analytischer Gestalt die Bedingung dafür an, daß jede Kurve \(s\)-ter Ordnung, die von einem Punktsystem alle Punkte bis auf einen enthält, auch den letzten Punkt enthält. Ein System von \(n + 1\) Geraden des Raumes \([n]\) wird ein \textit{System assoziierter Geraden} genannt, wenn es folgende Eigenschaft besitzt: Man nehme auf jeder Geraden einen Punkt \(p_i\) und einen Punkt \(q_i\) beliebig an. Es muß sich dann eine \(M^2\) finden lassen, bezüglich deren die beiden Simplexe \(p_i\) und \(q_i\) Polarsimplexe sind. Nun lautet die \textit{Verallgemeinerung des Satzes von Brianchon}: Ein in \([n]\) vorgegebenes System von \(2n + 2\) assoziierten Räumen \([n-1]\) werde nach einem Zyklus angeordnet. Je \(n\) konsekutive \([n-1]\) des Zyklus schneiden sich in einem Punkte. So entstehen \(2n+2\) Punkte, die Scheitel eines windschiefen Polygons. Die \(n+1\) Verbindungslinien gegenüberliegender Eckpunkte des Polygons bilden dann ein System assoziierter Geraden. Umgekehrt sei im Raume \([n]\) ein System von \(n+1\) assoziierten Geraden gegeben. Man wähle auf jeder Geraden zwei Punkte beliebig und ordne die Punkte in einem Zyklus derart an, daß zwei Punkte derselben Geraden einander im Zyklus gegenüberliegen. Die Räume \([n-1]\), die \(n\) konsekutive Punkte des Zyklus verbinden, bilden dann ein System von \(2n+2\) assoziierten \([n-1]\) im Raume \([n]\).