Severis Begründung der algebraischen Geometrie mittels des ``Metodo rapido.'' (Q2599826)

Ein Versuch, die \textit{Severi}sche Methode der Begründung der algebraischen Geometrie auf der Kurve (vgl. Trattato di geometria algebrica I, 1. Bologna 1926; F. d. M. 52, 660 (JFM 52.0660.*)) anschaulich zu erklären, wobei, obwohl es sich um komplexe Koordinaten handelt, vom reellen Kurvenbild Gebrauch gemacht wird. Definition der linearen Schar, Äquivalenz, Vollschar, Addition und Subtraktion der Scharen, Weierstraß' Definition des Geschlechts bilden die Grundlage; es folgt das Severische Lemma: Auf einer irreduziblen algebraischen Kurve \(C\) der Ordnung \(\nu\) ist eine Gruppe von \(n\) Punkten sicher in einer \(g^r_n\) mit \(r\geqq 1\) enthalten, sobald \(n>\frac12(\nu - 1)(\nu - 2)\) ist. Es folgt unmittelbar der Riemann-Rochsche Satz, daß bei einer Vollschar \(r\geqq n-p\) ist, die Frage nach der Existenz ausgezeichneter Scharen (d. h. mit \(r> n - p\)) und insbesondere nach einer \(|g^{p-1}_{2p-2}|\), d. h. der kanonischen Schar \(k\). Ist \(C\) singularitätenfrei, so sieht man sofort, daß \(k\) von den Kurven der Ordnung \(\nu - 3\) ausgeschnitten wird, dagegen erfordert das Vorhandensein von Singularitäten den Übergang zu adjungierten (d. h. durch jene laufenden) Kurven, wofür Verf. eine neue Begründung gibt. Zum Schluß Andeutungen über eine mögliche idealtheoretische Begründung. (Vgl. Verf., Math. Ann. 115 (1938), 333-358; F. d. M. \(64_{\text I}\), 663.)