Algebraische Geometrie auf vektorieller Grundlage. (Q2599827)

Ein Versuch, die Linearscharen \(g^r_n\) auf einer algebraischen Kurve \(C\) vektoriell zu beschreiben. Die Koordinaten eines Punktes des \(R_n\) seien \(x_1,\ldots, x_n\); dann bedeute \(\mathfrak x\) den Spaltenvektor \((x_i)\) (\(i = 1, \ldots, n\)) ; \(\mathfrak{xy}\) bezeichne den Spaltenvektor \[ \left( \begin{matrix} x_1y_1+x_1y_1\\ x_1y_2+x_2y_1\\ \hdotsfor1\\ x_2y_2+x_2y_2\\ x_2y_3+x_3y_2\\ \hdotsfor1\\ x_ny_n+x_ny_n \end{matrix}\right) \] und entsprechend werden Produkte von drei und mehr Vektoren erklärt. \(\mathfrak x\) ist ein Vektor 1. Stufe, das Produkt von \(m\) Vektoren 1. Stufe heißt Vektor \(m\)-ter Stufe. Vektoren gleicher Stufe sind in üblicher Weise zu addieren. Bestimmen nun \(\mathfrak x_1,\ldots,\mathfrak x_n\) die \(n\) Punkte einer Gruppe aus der Linearschar \(g^r_n\), so kann man mit diesen Rechnungsarten ihre elementarsymmetrischen Funktionen \[ \mathfrak s_1=\sum \mathfrak x_i,\;\mathfrak s_2=\sum_{i\neq k} \mathfrak x_i\mathfrak x_k,\;\ldots,\;\mathfrak s_n=\mathfrak x_1\mathfrak x_2\cdots\mathfrak x_n \] bilden, die dann lediglich von den \(r\) Parametern der Schar und den Koeffizienten der Gleichung von \(C\) abhängen. Die Vektorgleichung \[ f(\mathfrak x)=\mathfrak x^n-\mathfrak s_1\mathfrak x^{n-1}+\mathfrak s_2\mathfrak x^{n-2}+\cdots+ (-1)^n\mathfrak s_n=0 \] beschreibt dann die \(g^r_n\), indem sie für jeden Parametersatz die entsprechende Gruppe der \(g^r_n\) zu Wurzeln hat; sie beschreibt aber auch für variable Parameter die Kurve \(C\). Als Beispiel wird eine elliptische \(C^3\) und auf dieser eine \(g_2^1\) behandelt. In der gleichen Vektorsymbolik kann man lineare und allgemeiner ebene Cremonaabbildungen ausdrücken. Jede ebene Affinität wird dann durch eine ganze lineare Substitution des variablen Punktvektors \(\mathfrak x\) ausgedrückt. Eine Kollineation drückt sich in der Form \[ \overline{\mathfrak x}=\frac{\mathfrak a+\lambda\mathfrak b}{\mathfrak c+\mathfrak x}\mathfrak x \] aus, worin der Parameter \(\lambda\) so zu bestimmen ist, daß der Zähler durch den Nenner teilbar wird. Die allgemeinste Cremonaabbildung nimmt die Form an \[ \overline{\mathfrak x}=\frac{\mathfrak a_n+\lambda\mathfrak b_{n-1}\mathfrak x} {\mathfrak c_{n-1}+\mathfrak d_{n-2}\mathfrak x}, \] worin die Zeiger die Stufen der betreffenden Vektoren angeben. Erst in dieser Schreibweise findet die Eineindeutigkeit solcher Transformationen ihren sichtbaren Ausdruck.