La trigonométrie des petits triangles curvilignes sur une surface. (Q2599896)

Verf. hat 1934 eine allgemeine Theorie (Compositio math., Groningen, 1, 116-162; F. d. M. \(60_{\text I}\), 625) über die metrische Differentialgeometrie von Tripeln von Linienkongruenzen auf einer Fläche entwickelt und im besonderen mit Benützung der bereits von W. Blaschke für das Studium der 3-Gewebe angewendeten Operatoren trigonometrische Formeln für kleine krummlinige Dreiecke auf den Flächen aufgestellt. Verf. baut hier die Theorie in mehr systematischer, vollständiger (er erreicht höhere Annäherung) und in ganz verschiedener Weise mit elementareren Mitteln wieder auf. Er betrachtet ``kleine'' Kurvendreiecke in dem Sinne, daß das Produkt \(\varGamma L\) begrenzt sei, d. h. einen angegebenen und als ``Größe erster Ordnung'' angenommenen echten Bruch nicht übersteige; dabei bedeutet \(L\) die größte Länge und \(\varGamma\) die größte Krümmung der Seiten; ferner soll auch das Produkt \(KL^2\) begrenzt, und zwar ``Größe zweiter Ordnung'' d. h. mit \((\varGamma L)^2\) vergleichbar sein, wo \(K\) den größten Wert der Gaußschen Flächenkrümmung innerhalb des Dreiecks bedeutet. In erster Linie betrachtet er ebene Dreiecke, welche von drei Kreisbögen gebildet werden; mittels Untersuchung des geradlinigen Dreiecks, welches von den zu den drei Kreisbogen gehörigen Sehnen gebildet wird, gelingt es ihm, die Beziehungen bis auf Größen zweiter Ordnung aufzustellen, welche hier an Stelle des Sinussatzes der gewöhnlichen ebenen Trigonometrie stehen: \[ \frac{l_h}{\sin\varphi_h}=l\left\{1+\frac12 l(\gamma_h\cos\varphi_h-3\tau\cot\varphi_h)+(2)\right\} \qquad h=1,2,3, \] wo \(l_h\), \(\varphi_h\), \(\gamma_h\) (\(h=1,2,3\)) die Maße der drei Seiten, der drei Winkel und der Krümmungen (mit Vorzeichen) der drei Seiten des Dreiecks sind; außerdem sind \(\tau\) (Dreieckskrümmung) und l durch die Formehl \[ \tau=\frac13(\gamma_1\sin\varphi_1+\gamma_2\sin\varphi_2+ \gamma_3\sin\varphi_3),\quad l=\frac12p\frac{\mu_1\mu_2\mu_3} {\sqrt{(1-\mu_1)(1-\mu_2)(1-\mu_3)}} \] gegeben, wo \(p\) der halbe Umfang des Sehnendreiecks und \(\mu_1\), \(\mu_2\), \(\mu_3\) die Verhältnisse der Seitenlängen des letztgenannten Dreieckes zum halben Umfang p sind. (Unter (2) versteht man einen Ausdruck von Gliedern mindestens zweiter Ordnung). Um zum allgemeinen Fall überzugehen, führt Verf. mehrere bekannte Resultate über die örtliche Abbildung von ebenen und von Flächenkurven, sowie über die Länge der geodätischen Sehnen von Flächenbögen an. Darauf zieht er ein kleines Kurvendreieck auf einer beliebigen Fläche heran und untersucht das ``Dreieck der geodätischen Sehnen'' ; er benützt die Bemerkung, daß die Fläche in der Umgebung eines ihrer Punkte \(O\) bis auf Glieder dritter Ordnung als Fläche konstanter Krümmung \(K\) angesehen werden kann, wo K den Wert der Gaußschen Krümmung der Fläche im Punkte \(O\) bezeichnet, und gelangt so zur Formel, welche auf einer beliebigen Fläche den Sinussatz in zweiter Annäherung vorstellt: \[ \frac{l_h}{|R|\sin\varphi_h}=l\left\{ 1+\psi_h+\chi_h+\frac16l^2\left(K+\frac14\gamma_h^2\right) \sin^2\varphi_h+(3)\right\}, \] wo \(K =\dfrac1{R^2}\) (\(R > 0\) für \(K > 0\), \(- iR > 0\) für \(K < 0\)), \(a_h' =\dfrac{a_h}R\), \[ r = \frac13\sum_{h=1}^3 \gamma_h\sin\varphi_h,\quad r'=\frac13\sum_{h=1}^3 \dot\gamma_h\sin^2\varphi_h, \] \(\dot\gamma_h=\dfrac{d\gamma_h}{ds}\) längs der Seite berechnet, und \[ \begin{gathered} \frac{l}{|R|}=\frac{|\sin a_1'\sin a_2'\sin a_3'|} {\{1-\cos^2 a_1'-\cos^2 a_2'-\cos^2 a_3'+ 2\cos a_1'\cos a_2'\cos a_3\}^{\frac12}}\\ \psi_h=\frac12 l(\gamma_h\cos\varphi_h-3\tau\cot\varphi_h),\\ \chi_h=-l^2\left\{\frac18(3\tau-\gamma_h\sin\varphi_h)^2+\frac1{12} \cot\varphi_h(\dot\gamma_{h+1}\sin^2\varphi_{h+1}\dot\gamma_{h+2}\sin^2\varphi_{h+2})\right\} \end{gathered} \] gilt. (In der letzten Formel ist hier nach einer Bemerkung von \textit{A. Tonolo} ein Versehen verbessert (vgl. \textit{A. Tonolo}, Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 29 (1939), 175-179 ; F. d. M. 65, 750 (JFM 65.0750.*)). Mit \(h\), \(h+1\), \(h+2\) ist dort eine direkte Permutation von 1, 2, 3 bezeichnet.) Verf. schließt mit einer Bemerkung über den Legendreschen Satz, nach dem die Berechnung eines geodätischen Dreieckes auf einer Fläche mit konstanter Krümmung auf diejenige eines ebenen Dreieckes mit denselben Seiten zurückgeführt werden kann, dessen Winkel um je ein Drittel des Winkelexzesses oder Defektes \(|\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi|\) verändert sind. Dieser Satz gibt jedoch, wie Verf. bemerkt, für den Sinussatz nur eine erste, nicht eine zweite Annäherung. Vgl. \textit{A. Tonolo}, Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 28 (1939), 244-246; Rend. Sem. mat. fis. Milano 13 (1939), 35-57; vgl. auch \textit{G. Boaga}, Su alcuni recenti studi geometrici interessanti la geodesia, L'Universo 21 (1940), 3-11; \textit{C. de Losada y Puga}, Sur la trigonometrie des petits triangles plans, Bull. Soc, math. France 67 (1939), 132-136 (F. d. M. 65 ; 749, 750; 66).