Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern. IV: Die gemischten Diskriminanten und die gemischten Volumina. (Q2599907)

Die Diskriminante der Form \[ f=\lambda_1f_1+\cdots+\lambda_mf_m,\quad f_k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^{(k)}x_ix_j\qquad (k=1,2,\ldots,m) \] hat die Gestalt \[ D(f)=\sum_{i_1,\ldots,i_n}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n} D(f_{i_1},\ldots,f_{i_n}). \] Den Koeffizienten \(D(f_{i_1},\ldots, f_{i_n})\) des Produkts \(\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n}\), der nur von den Formen \(f_{i_1},\ldots, f_{i_n}\) abhängt, nennt Verf. die \textit{gemischte Diskriminante} dieser Formen. Er beweist: \(f_1, f_2,\ldots, f_{n-1}\) seien positive quadratische Formen von \(n\) Veränderlichen und \(g\) eine beliebige quadratische Form derselben Veränderlichen. Dann ist \[ D(f_1,\ldots,f_{n-1},g)^2\geqq D(f_1,\ldots,f_{n-1}, f_{n-1}) D(f_1,\ldots,f_{n-2},g, g), \] wo das Gleichheitszeichen dann und nur dann gilt, wenn \(g=\lambda f_{n-1}\) (\(\lambda =\) const) ist. Folgerung: Sind \(f_1, \ldots,f_n\) positive quadratische Formen von \(n\) Veränderlichen, so ist \[ D(f_1,\ldots,f_n)^m\geqq \prod_{k=1}^m D(f_k,\ldots,f_k, f_{m+1},\ldots, f_n) \qquad (2\leqq m\leqq n). \] Das Gleichheitszeichen gilt in allen Gleichungen dann und nur dann, wenn alle Formen \(f_1,\ldots, f_n\) einander proportional sind. Diese algebraischen Sätze gestatten die Ableitung der Hauptsätze der Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern, wenn man sich auf Körper mit zweimal differenzierbarer Stützfunktion beschränkt. Ferner zeigt Verf., ohne die Ungleichungen zwischen gemischten Volumina zu benutzen: Wenn zwei konvexe Körper mit zweimal stetig differenzierbaren Stützfunktionen und nirgends verschwindenden Hauptkrümmungsradien dieselben Krümmungsfunktionen gegebener Ordnung besitzen, so sind sie einander gleich und parallel gelegen. Im letzten Paragraphen, der sich unmittelbar an Teil II dieser Arbeit (Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 1205--1238; JFM 63.1235.01) anschließt, wird bewiesen: 1. \(E_1, \ldots, E_{n-2}\) seien reguläre konvexe Körper. Sind \(H_0\) und \(H_1\) zwei mindestens \(m\)-dimensionale konvexe Körper, und gilt für die gemischten Oberflächenfunktionen die Gleichung \[ F(H_0,\ldots, H_0, E_1, \ldots, E_{n-m}; \omega) = F(H_1,\ldots, H_1, E_1, \ldots, E_{n-m}; \omega), \] so sind diese Körper einander gleich und parallel gelegen. 2. In der Ungleichung \[ \begin{multlined} \root m\of {V_(H_\vartheta,\ldots,H_{\vartheta},E_1,\ldots,E_{n-m})} \geqq(1-\vartheta) \root m\of {V_(H_0,\ldots,H_0,E_1,\ldots,E_{n-m})}\\ +\vartheta \root m\of {V_(H_1,\ldots,H_1,E_1,\ldots,E_{n-m})}, \end{multlined} \] wo \(H_0\) und \(H_1\) mindestens \(m\)-dimensionale konvexe Körper, \(H_\vartheta = (1-\vartheta)H_0+\vartheta H\), und \(V\) die gemischten Volumina sind, gilt das Gleichheitzeichen dann und nur dann, wenn \(H_0\) und \(H_1\) homothetisch sind. (III 4.)