Hypersurfaces of a space of constant curvature. (Q2599943)

Es werden die geometrischen Eigenschaften solcher Riemannschen Räume \(V_n\) untersucht, die als Hyperflächen in Räumen konstanter Krümmung \(S_{n+1}\) aufgefaßt werden können. Man erhält dadurch u. a. auch Charakterisierungen des \(S_{n+1}\) in dem Sinne, daß das Vorhandensein gewisser dieser Eigenschaften für alle Hyperflächen eines \(V_{n+1}\) die konstante Krümmung des \(V_{n+1}\) nach sich zieht. Die Tangenten an die Krümmungslinien einer eigentlichen Hyperfläche \(V_n\) eines \(S_{n+1}\) sind Ricci-Hauptrichtungen der \(V_n\). Umgekehrt ist \(V_{n+1}=S_{n+1}\), wenn jede eigentliche Hyperfläche eines \(V_{n+1}\) \((n>2)\) diese Eigenschaft besitzt. (Korrektur eines Satzes von Struik). Es werden einige allgemeine Eigenschaften der Krümmungslinien abgeleitet. Wenn z. B. \(p\) Kongruenzen von Krümmungslinien einer eigentlichen Hyperfläche im \(S_{n+1}\) in \(\infty^{n-p} \, V_p\) liegen, \(1 < p < n\), und die entsprechenden Eigenwerte der charakteristischen Gleichung nicht einer der restlichen \(n - p\) Hauptkrümmungen gleich sind, so sind sie auch Krümmungslinien der \(V_p\) für jede Normale in \(V_n\). Es folgen Eigenschaften für den Fall mehrfacher Wurzeln. Besitzen genau \(p\) \((1 < p <n)\) Hauptkrümmungen den Wert \(\varrho\), so liegen die entsprechenden Krümmungslinien in \(\infty^{n-p}\) Nabelpunkträumen \(V_p\). Für \(p > 2\) ist \(V_p = S_p\). Die Funktion \(\varrho\) ist auf jeder \(V_p\) konstant. Die \(V_p\) sind total geodätische \(S_p\) in \(V_n\) dann und nur dann, wenn \(\varrho\) eine Konstante ist. In \(S_{n+1}\) sind sie totalgeodätisch für \(\varrho=0\). Der letzte Abschnitt gibt eine vollständige Klassifikation Einsteinscher Räume \(E_n \,(R_{ij}=-kg_{ij})\) in einem \(S_{n+1}\). Da nach Thomas die Codazzi-Gleichungen einer Hyperfläche unter sehr allgemeinen Bedingungen Folge der Gaußschen Gleichungen sind, läßt sich entsprechend im \(S_{n+1}\) eine rein algebraische Charakterisierung der Einstein-\(E_n\) angeben.