Sur la théorie des caustiques. (Q2600017)

Nach einigen allgemeinen Bemerkungen über die Kaustik als Enveloppe der Strahlen und Ort der Umkehrpunkte (Spitzen) der Wellenflächen weist Verf. darauf hin, daß die Intensität in der Nachbarschaft der Kaustik, wo ja die geometrische Optik nicht mehr gültig ist, entweder -- nach Young -- als Interferenz der beiden dort durch einen Punkt gehenden Strahlen zu berechnen ist, von denen der eine die Kaustik bereits berührt hat und demnach mit einem Phasensprung zu versehen ist, während der andere die Kaustik noch nicht getroffen hat, oder auch -nach Airy und Larmor -- mit Hilfe des Huygens'schen Prinzips in der Fresnelschen Fassung berechnet werden kann. Da nach Airy-Larmor die Intensität in einem Punkte vom Krümmungsradius der Kaustik in dem jenem nächsten Punkte abhängt und die Intensitätsverteilung für zwei verschiedene sich in diesem Punkte berührende Kaustiken identisch ist, legt Verf. den weiteren Untersuchungen eine kreisförmige Kaustik zugrunde. (DieUntersuchungen beziehen sich auf das ebene Problem.) Er gibt die Gleichung der zugehörigen Wellenflächen in Polarkoordinaten um den Mittelpunkt der kreisförmigen Kaustik. Er gibt weiter die dort endlichen harmonischen Lösungen der auf Polarkoordinaten transformierten Wellengleichung. Diese Lösung enthält als Faktor -- neben der Exponentialfunktion -- die Besselsche Funktion. Verf. zeigt nun, daß man durch Ersetzen der Besselschen Funktion durch verschiedene ihrer asymptotischen Ausdrücke zu den bekannten Intensitätsausdrücken kommt. So findet man den von Rayleigh und Debye, wenn man in \(J_m(x)\) die Größen \(m\) und \(x\) von gleicher Größenordnung annimmt. Andere bekannte Formeln erhält man, wenn \(|\,x-m\,| \ll m^{\frac{1}{2}}\) bzw. \(m^{\frac{3}{5}}\) ist. Es folgen Untersuchungen der geometrischen und differentialgeometrischen Eigenschaften der ``geodätischen Kegel'', die zu den beiden durch einen Punkt gehenden Wellenflächen gehören, sowie Verallgemeinerungen der für die kreisförmige Kaustik abgeleiteten wellenoptischen Beziehungen.