On the stability of a viscous liquid between rotating coaxial cylinders. (Q2600262)

Verf. knüpft an eine Arbeit von \textit{G. I. Taylor} (Philos. Trans. R. Soc. London, A 223 (1923), 289-343; F. d. M. 49, 607 (JFM 49.0607.*)) an, in der die Bedingungen untersucht werden, unter welchen eine zwischen zwei mit den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega _1\) bzw. \(\omega _2\) rotierenden koaxialen Zylindern mit den Radien \(r_{1}\) bzw. \(r_2(r_2>r_1)\) strömende Flüssigkeit stabil bleibt, das heißt keine Turbulenz zeigt. Dabei wird bei Einführung von Zylinderkoordinaten \(r\), \(\varphi \), \(z\) (Geschwindigkeitskomponenten \(u\), \(v\), \(w\)) an der Taylorschen Voraussetzung festgehalten, daß die turbulente Bewegung unabhängig von \(\varphi \) und in der \(z\)-Richtung zeitlich periodisch erfolgen soll. Dem entsprechend wird von den gesonderten Navier-Stokesschen Differentialgleichungen in Zylinderkoordinaten für Flüssigkeitsströmungen mit Rotationssymmetrie und von \(\varphi \) unabhängiger Geschwindigkeit und unabhängigem Druck ausgegangen. Aus diesen werden bei Einführung einer Lösungsfunktion \(\psi (r, z, t)\), aus der \(u\) und \(w\) ableitbar sind, zwei Ausgangsdifferentialgleichungen für \(\psi \) und \(v\) gewonnen, die durch die stationäre laminare Bewegung \(u = 0\), \(w = 0\) und \(v=Ar+\dfrac{B}{r}\) mit aus den Haftbedingungen an den Zylindermänteln ableitbaren Konstanten \(A\) und \(B\) befriedigt werden. Diese durch \(\psi = 0\) gekennzeichnete Bewegung wird überlagert durch eine turbulente Bewegung, für die \(v=\eta \) (mit \(\eta \) als Funktion von \(r\), \(z\), \(t\)) und \(\psi \) klein bleiben sollen. Bei Einführung dimensionsloser Größen \(\alpha =\dfrac{r_2}{r_1}\), \(\beta =\dfrac{\omega _2}{\omega _1}\) und \(R=\dfrac{\omega _1r_1^2}{\nu }\) (Reynoldssche Zahl) und unter der üblichen Annahme der Darstellbarkeit von \(\psi \) bzw. \(\eta \) als Produkten von ``charakteristischen Funktionen'' \(f\biggl(\dfrac{r}{r_1}\biggr)\) bzw. \(g\biggl(\dfrac{r}{r_1}\biggr)\) mit einer als \(e\)-Potenz angesetzten periodischen Funktion der Zeit \(t\) und von \(z\) werden zwei gewöhnliche Differentialgleichungen für \(f\) und \(g\) gewonnen. Sie werden vom Verf. als Differentialgleichungen der fünf ``charakteristischen Werte'' bezeichnet, da in ihnen außer \(\alpha \), \(\beta \), \(R\) noch die dimensionslosen Größen \(\sigma \) (komplex) und \(\lambda \) (reell) vorkommen, die im Potenzexponenten jener periodischen Funktion als Beiwerte von \(t\) und \(z\) erscheinen. Die Bewegung ist stabil, wenn der reelle Bestandteil von \(\sigma \) negativ ist, was der Fall ist, wenn \(\omega _2r_2^2>\omega _1r_1^2>0\) wird, d. h. wenn die Zirkulationen am äußeren und inneren Zylinder dieselben Vorzeichen besitzen und die Zirkulation am äußeren Zylinder größer als am inneren ist. Der Beweis hierfür wird unter Beachtung der Grenzbedingungen dadurch erbracht, daß aus den Differentialgleichungen für \(f\) und \(g\) ein Ausdruck für den reellen Teil von \(\sigma \) abgeleitet wird mit Integralen, deren Integranden nur Produkte aus den ``charakteristischen Funktionen'' oder deren Ableitungen mit zugeordneten Funktionen mit konjugiertkomplexem Argument oder deren Ableitungen enthalten. Die Vorzeichen der Integrale können aber bestimmt werden, ohne die Funktionen \(f\) und \(g\) überhaupt zu kennen, so daß sich \(\sigma \) aus jenem Ausdruck dann negativ ergibt, wenn die angegebenen Bedingungen erfüllt sind.