A method for treating large perturbations. (Q2600364)

Die Schrödingergleichung \(H\psi =W\psi \) läßt sich in ein System von Differenzengleichungen übersetzen, wenn man ihre Lösung nach einem beliebigen orthogonalen Funktionensystem \(\psi _n\) in der Gestalt \(\psi =\sum c_n\psi _n\) entwickelt. Das Differenzengleichungssystem für die \(c_{n}\) läßt sich nach einer Methode lösen, die dem Wentzel-Kramers-Brillouin-Verfahren (WKB) zur Lösung von Differentialgleichungen vollkommen analog ist, falls die Hamiltonsche Matrix \(H_{mn}=\int\psi _m^{\ast}H\psi _ndt\) gewisse Bedingungen erfüllt. Seien die Diagonalelemente \(H_{nn}=W_n\) ihrer Größe nach geordnet; dann soll gelten: 1) \(W_{n+1}-W_n\) ändert sich langsam mit \(n\), 2) die Elemente von \(H_{mn}\) in jeder Diagonale parallel zur Hauptdiagonale ändern sich langsam von Zeile zu Zeile, 3) \(|\,H_{n,\,n+k}\,|\gg W_{n+k}-W_n\) wenigstens für ein \(k\). Die Methode ist besonders nützlich, wenn es sich um Störungsprobleme mit großen Störungen handelt; denn dann versagt wegen der Bedingung 3) die gewöhnliche Schrödingersche Störungstheorie; für die \(\psi _n\) werden dann die Eigenfunktionen des ungestörten Problems gewählt. Es werden zunächst einige Beispiele durchgerechnet, die sich auch streng behandeln lassen; dann wird das Verfahren auf die Mathieuschen Funktionen angewendet. Nach einigen Verallgemeinerungen werden die Wellenfunktionen von schnellen Elektronen in Metallen untersucht; hier ist die Methode identisch mit der Anwendung des WKB-Verfahrens auf die Wellengleichung im Impulsraum; es ergibt sich, daß eine ebene Welle selbst für hohe Energien eine ungenügende Näherung ist.