On the characteristic matrices of covariant systems. (Q2600415)

Die Procaschen Gleichungen für ein Partikel mit dem Spin l (vektorielle Mesontheorie) werden in der Diracschen Form \[ (\beta_i p_i - mc) \psi = 0 \] geschrieben (\(p_k = h \partial / i \partial x_k\)). \(\psi\) ist eine zehnkomponentige Funktion (die 4 Komp. des Vektorpotentials \(\varPhi_k\) und die 6 Komp. der ``Induktion'' \(G_{ik}\), welche der Gleichung \(p_iG_{ik} = mc \varPhi_k\) genügen). Die quadratischen \(\beta\) Matrizen genügen den Relationen \[ \beta_i^3 = \beta_i; \quad \beta_i \beta_k^2 + \beta_k^2 \beta_i = \beta_i \quad (i \not = k) ; \quad \beta_i\beta_k\beta_l + \beta_l \beta_k \beta_i = 0 \quad (i \not = k) . \tag{1} \] Dann gilt für einen beliebigen Tensor \(c_{ikl}\), der der Symmetriebedingung \(c_{ikl} = c_{lki}\) genügt: \[ \beta_i \beta_k \beta_l \quad c_{ikl} = \beta_i \, c_{ikk}. \tag{2} \] Bedingung (2) enthält die Relationen (1) als Spezialfälle. \(x_i p_k - x_k p_i - ihs_{ik}\) mit \(s_{ik} = \beta_i \beta_k - \beta_k \beta_i\) sind die Drehimpulsoperatoren. Die Eigenwerte der Matrizen \(s_{ik}\) sind \(+1,0, - 1\). Sie entsprechen daher den Spinoperatoren. Für die skalaře Mesontheorie werden analoge Relationen aufgestellt. Die Theorie ist inzwischen von \textit{Kemmer} (Proc. R. Soc. London, A 173 (1939), 91-116; F. d.M. 65) weiter ausgebaut worden. Ref.)