On some generalizations of a theorem of A. Markoff. (Q2600547)

Die Verf. definieren die ``Norm'' \(\|f\|\) einer im Intervall \(\langle-1,1\rangle\) stetigen Funk\-tion \(f (x)\) für \(p\geqq1\) durch \(\|f\|=\{\frac12\int\limits_{-1}^1|f(x)|^pdx\}^{\frac1p}\) und stellen sich zur Aufgabe, die Ungleichung \[ \|f'\|\leqq An^2\|f\| \tag{\(\alpha\)} \] für alle Polynome \(f (x)\) \(n\)-ten Grades zu beweisen, wobei die Konstante \(A\) von \(n\) und \(f\) unabhängig ist. Da für \(p\to\infty\) \(\|f\|\) in das Maximum von \(|f(x)|\) übergeht, so stellt (\(\alpha\)) eine Verallgemeinerung der klassischen \textit{Markoff}schen Ungleichung zwischen den Maxi\-malwerten der Beträge eines Polynoms und seiner Ableitung dar. Es werden zwei ver\-schiedene funktionentheoretische Beweise für (\(\alpha\)) mitgeteilt; der erste stützt sich auf einen Satz von \textit{R. M. Gabriel} (Proc. London math. Soc. (2) 39 (1935), 216-231; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 307), und beide benutzen bekannte Sätze über konforme Abbildung. Im Ab\-schnitt IV wird gezeigt, daß \(\|f'\|{:}\|f\|\geqq Bn^2\) ist, wenn man \(f (x)\) durch das ultra\-sphärische Polynom \(P_n^{(\alpha,\alpha)}(x)\) ersetzt; dabei hängen die positiven Konstanten \(\alpha\) und \(B\) nur von \(p\) ab. Eine direkte Untersuchung des von \textit{E. Schmidt} behandelten Falles (Die asymptotische Bestimmung des Maximums des Integrals über das Quadrat der Ableitung eines normierten Polynoms, dessen Grad ins Unendliche wächst, S.-B. Preuß. Akad. Wiss. Phys.-math. Kl. 1932, 287; F. d. M. \(58_{\text{II}}\)) führt die Verf. zu dem Ergebnis, daß das Maximum \(M_n\) des Quotienten \(\int\limits_{-1}^1\{f'(x)\}^2 dx :\int\limits_{-1}^1\{f(x)\}^2 dx\) für alle Polynome \(f(x)\) \(n\)-ten Grades der Limesbeziehung \(\lim\limits_{n\to\infty} n^{-2}M_n=\dfrac1\pi\) genügt.