Sur les espaces linéaires dont la sphère unitaire est faiblement compacte. (Q2600658)

Die Einheitskugel \(K=[\|x\|\leqq1]\) im linearen Raum \(E\) \(\big(\)vom Typ \((B)\big)\) heißt abzählbar abgeschlossen, wenn es zu jeder beschränkten Folge \(\{x_n\}\) ein \(x_*\) gibt, so daß \(\varliminf f(x_n)\leqq f(x_*)\leqq\varlimsup f(x_n)\) für jedes \(f\subset\overline{E}\) (\(\overline{E}\) ist der Raum aller linearen (reellen) Funktionale in \(E\)). Ist \(K\) abzählbar abgeschlossen, so ist \(K\) schwach kompakt, und umgekehrt. \(K\) ist schwach kompakt, wenn \(E\) regulär ist. Die Einheitskugeln der Folge der Räume \(E^{(0)}= E\), \(E^{(1)}=\overline{E^{(0)}}\), \(E^{(2)}=\overline{E^{(1)}}\),\dots sind entweder alle schwach kom\-pakt, oder sie sind es alle nicht.