Sur des opérations linéaires non complètement continues. Rectification. (Q2600663)

Betrachtet werden stetige lineare Operationen \(U(x)\). Der Definitionsbereich ist eine Menge von Objekten \(x\), die einen vollständigen metrischen Vektorraum \(B\) bilden, und soll den Bildbereich enthalten. ``Elementaroperation'' heißt jede Operation \(U (x)={\sum\limits_{i=1}^{r}}x_i\lambda_i(x)\), wobei \(x_1\),\dots, \(x_r\) Elemente aus \(B\) und \(\lambda_1(x)\),\dots, \(\lambda_r(x)\) lineare Funktionale sind. Bezeichnet \(E\) die identische Operation und wird \[ (E - \lambda U)^{-1} = E + \lambda U_\lambda \] gesetzt, dann ist die Resolvente \(U_\lambda\) von \(U\), falls sie existiert, eine analytische Funk\-tion von \(\lambda\) Die Werte von \(\lambda\), für die \(U_\lambda\) nicht definiert ist, sind ihre singulären Stellen. Ist \(\lambda=c\) ein Pol von \(U_\lambda\), dann läßt die homogene Gleichung \(x - c U (x) = 0\) min\-destens eine nicht verschwindende Lösung zu. ``Polradius'' \(\mathfrak P\) von \(U_\lambda\) heißt die größte positive Zahl \(R\) derart, daß \(U_\lambda\) in jedem Bereich des Innern von \(|\lambda|\leqq R\) als singuläre Stellen nur eine endliche Anzahl von Polen endlicher Ordnung hat. Sofern \(|\lambda| < \mathfrak P\) ist, kann man auf die Gleichung \(x = \lambda U (x) + y\) die von \textit{Fredholm} für Integralglei\-chungen aufgestellten Sätze aussprechen. Es gilt \(\mathfrak P\geqq1:\|U\|\). Die vollstetigen Operationen haben einen unendlichen Polradius. Jede stetige lineare Operation \(U\) von endlichem Polradius \(\mathfrak P\) ist die Summe zweier orthogonaler Operationen \(U_1\) und \(U_2\), wobei \(U_1\) eine Elementaroperation ist und \[ \|U_2^n\|\leqq M:(\mathfrak P-\varepsilon)^{n} \] gilt. (\(U_2^n\) ist die \(n\)-te Iterierte von \(U_2\).) Die weiteren mitgeteilten Sätze betreffen Abschätzungen von Polradien.