Transformations on sequence spaces. (Q2600664)

Es sei \(\varPhi\) ein Raum des Typus \(B\), der eine abzählbare Basis \(\{\varphi_n\}\) besitzt; d. h. für \(x\in\varPhi\) ist \(x\) durch \(x={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}x_n\varphi_n\) auf genau eine Weise darstellbar, mit \(x_n = T_n^\varPhi\), wo \(T_n^\varPhi\) ein lineares Funktional auf \(\varPhi\) ist, für welches \(|T_n^\varPhi|\leqq M_\varPhi\). Verf. untersuchen lineare Transformationen (kurz T.) \(T x = y\), die \(\varPhi\) auf einen Raum \(\varPsi\) desselben Typus wie \(\varPhi\) abbilden. \(T\) ist bestimmt durch \[ y_i={\sum\limits_{j=1}^{\infty}}a_{ij}x_j\qquad(i=1,2,\dots),\qquad \text{wo}\quad a_{ij}=T_i^{\varPsi}\,T\varphi_j. \tag{1} \] Bedingungen für Kompaktheit einer Menge \(X \subset\varPhi\) werden gegeben: \(X\) ist in \(\varPhi\) kom\-pakt, wenn und nur wenn \(\lim\limits_n{\sum\limits_{j=1}^{n}}x_j\varphi_j\) gleichmäßig in \(x\in X\) gegen \(x\) strebt. Es können nur vollstetige T. untersucht werden. Die Verf. beweisen unter anderem: Die Glei\-chungen (1) definieren eine lineare T. von \(l_1\) auf \(l_p\), wenn und nur wenn \[ \operatorname{fin}\,\sup\limits_j\left({\sum\limits_{i=1}^{\infty}}|a_{ij}|^p \right)^{\tfrac1p}<\infty \] ist, und diese Zahl ist die Schranke der T. Die soeben erwähnte T. ist im Falle \(p\geqq1\) vollstetig, wenn und nur wenn \[ \lim_n\,\sup\limits_j\left({\sum\limits_{i=n}^{\infty}}|a_{ij}|^p \right)^{\tfrac1p}=0 \] ist. Es sei nun \(a_{ij}\geqq0\). Dann definieren (1) eine T. von \(l_p\) (\(p > 1\)) auf \(l_1\), wenn und nur wenn \[ \bigg({\sum\limits_{j=1}^{\infty}}\left({\sum\limits_{i=1}^{\infty}}a_{ij} \right)^{p'}\bigg)^{\tfrac1{p'}}<\infty,\quad p+p'=pp'. \] Diese Zahl ist die Schranke der T. In ähnlicher Weise definieren die Gleichungen (1) eine T. von \(c_0\) auf \(l_1\), wenn und nur wenn \({\sum\limits_{j=1}^{\infty}}{\sum\limits_{i=1}^{\infty}}a_{ij}<\infty\).