The von Neumann-Jordan constant for the Lebesgue spaces. (Q2600677)

Nach \textit{von Neumann} und \textit{Jordan} (Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1925), 719-724; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 435) gibt es für jeden \textit{Banach}schen Raum \(B\) eine kleinste positive Konstante \(C\) von der Eigenschaft, daß \[ \frac1C\leqq\frac{\|x+y\|^2 +\|x-y\|^2}{2(\|x\|^2 +\|y\|^2)} \leqq C \] für irgend zwei Elemente \(x\), \(y\) aus \(B\) gilt, die nicht beide das Nullelement sind. In der vorliegenden Arbeit wird für die Räume \(L_p\), \(l_p\) und \(l_p^{(n)}\) (\(p\geqq 1\); \(n \geqq 2\)) \(C = 2^{\tfrac{|2-p|}p}\) bewiesen; dabei haben \(L_p\), \(l_p\) die übliche Bedeutung (siehe etwa \textit{Banach}, Théorie des opérations linéaires (1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 420), S. 12) und \(l^{(n)}_p\) ist der Raum aller Systeme \(x = (x_1,\ldots, x_n)\) von \(n\) komplexen Zahlen \(x_1,\, \ldots,\, x_n\) mit \[ \|x\|^p=|x_1|^p+ \cdots + |x_n|^p. \]