On functional equations in linear topological spaces. (Q2600684)

(Auszug aus des Verf. Dissertation, California Institute of Technology, 1937.) Verf. führt in reell linearen topologischen Räumen ein Analogon der \textit{Lipschitz}bedingung ein mit Hilfe eines \(K\)-Systems; ein solches liegt in einem reell linearen topologischen Raum \(T\) vor, wenn jedem Punkt \(\mathfrak x\) von \(T\) eindeutig eine Teilmenge \(K(\mathfrak x)\) von \(T\) zugeordnet ist mit folgenden Eigenschaften: \(K (\mathfrak x)\) ist konvex und beschränkt im \textit{Kolmogoroff}schen Sinne (Studia math., Lwów, 5 (1934), 29-33; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1229), enthält \(\mathfrak x\) und den Ursprung von \(T\), nicht aber die Punkte \(a\mathfrak x\) mit \(a > 1\); ferner ist \(K(b\mathfrak x) = bK(\mathfrak x)\) für \(b\geqq 0\), und aus \(\mathfrak y \subset K(\mathfrak x)\) folgt \(K (\mathfrak y) \subset K(\mathfrak x)\). Die Abbildung, \(\mathfrak x' =\mathfrak f (\mathfrak x)\) von \(T\) in sich erfüllt eine \textit{Lipschitz}bedingung bezüglich des Systems \(\{K (\mathfrak x)\}\), wenn es eine positive Konstante \(c\) gibt, so daß \(\mathfrak f (\mathfrak x_2) -\mathfrak f (\mathfrak x_1)\) stets in \(cK (\mathfrak x_2 - \mathfrak x_1)\) enthalten ist. Mit Hilfe der Iteration \(\mathfrak x_n = \mathfrak f(\mathfrak x_{n-1})\) läßt sich leicht beweisen, daß eine stetige Abbildung \(\mathfrak x' = \mathfrak f (\mathfrak x)\), welche eine vollständige Teilmenge von \(T\) in sich abbildet und in bezug auf \(\{K (\mathfrak x)\}\) einer \textit{Lipschitz}bedingung genügt mit \(c < 1\), genau einen Fixpunkt hat. Es wird eine allgemeine Methode angegeben, wie sich im Falle eines im kleinen konvexen linearen topologischen Raumes mit Hilfe der Umgebungen ein \(K\)-System konstruieren läßt. Als Anwendung wird ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausgesprochen für eine Differentialgleichung \(\dfrac{d\mathfrak x}{dt} = \mathfrak f (t, \mathfrak x)\) mit der Anfangsbedingung \[ \mathfrak x (t_0) = \mathfrak x_0. \]