Sur l'équivalence de deux classes de fonctions de MM. Paley et Wiener. (Q2600688)

\(C^*_{\{m_n\}}\) bedeute die Klasse von Funktionen \(f (x)\), die in \(-\infty < x < \infty\) alle Ableitungen besitzen und zu denen es eine Konstante \(k = k(f)\) gibt, so daß \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f^{(n)}(x)|^2\,dx<k^{2n}m_n^2 \] ist (\(m_n\) bedeutet eine gegebene Folge von positiven Zahlen). Es sei \[ T_m(r) =\mathop{\text{obere Grenze }}\limits_{n\geqq0} \frac{|r|^n}{m_n} \quad (|r|> 0). \] Sind zwei Folgen \(m_n\) und \(m_n^\prime\) gegeben, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß aus \(f\in C^*_{\{m^\prime_n\}}\) folgt \(f\in C^*_{\{m_n\}}\), daß es ein \(\alpha > 0\) gibt, so daß \[ T_{m'}(r)>T_m(\alpha r) \qquad \text{für}\quad r>r_0, \] vorausgesetzt, daß \[ \liminf_{r\to\infty} \frac{\log T_{m'}(r)}{(\log r)^2} > 0. \]