On certain metric spaces arising from euclidean spaces by a change of metric and their imbedding in Hilbert space. (Q2600703)

Verwendet man im euklidischen Raum \(R_n\) anstelle des gewöhnlichen Abstands \(\overline{P_1P_2}\) die Größe \(\overline{P_1 P_2}^{\,\gamma}\), \(0 < \gamma < 1\), als Distanz, so erhält man einen metrischen Raum, der sich isometrisch in den \textit{Hilbert}schen Raum einbetten läßt (\(\gamma = \frac12\) ist von \textit{W. A. Wilson}, Amer. J. Math. 57 (1935), 62-68 (F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 634) behandelt worden). Der Beweis beruht auf dem Satz, daß für je \(n + 1\) verschiedene Punkte \(P_0,\, P_1,\,\ldots,\, P_n\) des \(R_n\) die quadratische Form \[ \sum_1^n \bigl\{ \overline{P_0P_i}^{\,\alpha} + \overline{P_0P_j}^{\,\alpha} \overline{P_iP_j}^{\,\alpha} \bigr\} x_ix_j \] für \(0 < \alpha < 2\) positiv definit ist. Es werden noch einige Folgerungen daraus angegeben.