Die Teilräume eines linearen Koordinatenraumes. (Q2600708)

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zu einer am Beginn ihres Ausbaues stehenden linearen Gleichungstheorie in den von \textit{Köthe} und \textit{Toeplitz} (J. reine angew. Math. 171 (1934), 193-226; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 109) eingeführten vollkommenen linearen Räumen. Ausgehend von der Feststellung, daß ein wesentlicher Punkt der Gleichungstheorie im Endlichvieldimensionalen die durch die umkehrbar eindeutigen Lineartransformationen des Raumes in sich vermittelte Typeneinteilung jener linearen Teilräume ist, die vermöge der Abbildung mit Hilfe der Matrix des Gleichungssystems bzw. ihrer Transponierten Bildraum des \(n\)-dimensionalen Raumes sein können (wobei die Dimension als einzige Invariante auftritt), stellt sich der Verf. die Aufgabe, als Vorbereitung für eine Auflösungstheorie in allgemeinen vollkommenen linearen Räumen zunächst in ähnlicher Weise die linearen Teilräume eines vollkommenen linearen Raumes \(\lambda\) bzw. in erster Linie die durch eine Matrix \(\mathfrak A\) definierten Bildräume \(\mathfrak A (\lambda)\) hinsichtlich ihres invarianten Verhaltens bei umkehrbar stetigen eineindeutigen Transformationen von \(\lambda\) in sich zu untersuchen. Im wesentlichen werden drei Invarianten eines linearen Raumes aufgestellt, der mengentheoretische Begriff der Ableitungszahl, der topologische Begriff der Vollabgeschlossenheit sowie die Existenz eines Komplementärraumes, und deren Eigenschaften in zahlreichen Sätzen behandelt. Im Rahmen dieser Untersuchungen ergibt sich auch eine neue und einfachere Herleitung der von \textit{Toeplitz} (Rend. Circ, mat. Palermo 28 (1909), 88-96; F. d. M. 40, 392 (JFM 40.0392.*)) gegebenen Auflösungstheorie im finiten Raum, der Auflösungstheorie von \textit{Köthe} und \textit{Toeplitz} (J. reine angew. Math. 165 (1931), 116-127; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 453) im halbfiniten Raum sowie des vom Verf. (Math. Z. 41 (1936), 153-162; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 454) bereits früher gewonnenen Resultates über die Normalform unendlicher Matrizen im \textit{Hilbert}schen Raum.