Introduction to the theory of Fourier integrals. (Q2600715)

Das Buch enthält eine ziemlich vollständige Darstellung der modernen Theorie der \textit{Fourier}-Transformation \[ F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ixt}f(t)\,dt. \] Von solchen Dingen, die sich für eine buchmäßige Darstellung eignen, vermißt man nur die Sätze \textit{Tauber}scher Art. Bei der Ableitung der Ergebnisse bevorzugt der Verf. generell die Methode, die Zusammenhänge zunächst rein formal, d. h. ohne Berücksichtigung von Konvergenz, usw. aufzuzeigen und dann erst den exakten Beweis zu geben, was für denjenigen, der die Dinge erst kennen lernen soll, angenehm ist. Im einzelnen ist das Buch folgendermaßen in elf Kapitel gegliedert: I. Formale Betrachtung des \textit{Fourier}schen Integraltheorems, der \textit{Fourier}-Transformation und der eng damit zusammenhängenden \textit{Laplace-} und \textit{Mellin}-Transformation. Die klassische Theorie, die mit Konvergenz im strengen Sinn und mit Summabilität arbeitet. II. Die \textit{Parseval}sche Gleichung und die ``Faltung'' von Funktionen; zunächst die formalen Zusammenhänge, dann Behandlung im Sinne der in I entwickelten Theorie. III. Die \textit{Plancherel}sche Theorie, die sich auf Funktionen der Klasse \(L^2\) bezieht. Es werden die meisten der heute bekannten Ableitungen dieser Theorie gegeben. IV. Die \textit{Titchmarsh}sche Theorie, die die Transformation von Funktionen der Klasse \(L^p\) (\(1 p \leqq 2\)) behandelt. V. Das zu einem \textit{Fourier}-Integral konjugierte Integral. Ausführliche Darstellung der Theorie der \textit{Hilbert-} (oder \textit{Stieltjes-}) Transformation \[ g(x)=\frac1\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{t-x}\, dt \] in den Klassen \(L^2\) und \(L^p\). VI. Die Frage der Eindeutigkeit und die allgemeinere Frage, wann ein trigonometrisches Integral ein \textit{Fourier}sches ist. Die Größenordnung von \textit{Fourier}-Transformierten. VII. Beispiele von \textit{Fourier-}, \textit{Mellin-} und \textit{Laplace}-Transformierten. VIII. Die Theorie der ``general transforms'' (involutorischen Transformationen) von \textit{Watson}, unter die die \textit{Fourier}-Transformation fällt. Die Beweise werden nach den von \textit{Titchmarsh} und \textit{I. Busbridge} benützten Methoden gegeben, die wohl übersichtlichste Methode, die von \textit{Doetsch} (Math. Ann. 113 (1936); 226-241, 665-676; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 469, 470) entwickelt wurde, ist noch nicht berücksichtigt. -- Die Resultante (eine gewisse Faltung) zweier \textit{Fourier}-Kerne. -- Die in Richtung der klassischen Theorie liegenden Untersuchungen von \textit{Hardy} und \textit{Titchmarsh} über die \textit{Hankel}-Transformation. IX. Selbst-reziproke Funktionen, hauptsächlich hinsichtlich der \textit{Fourier}schen cos-Transformation. X. Die Behandlung von Differential- und Differenzengleichungen vermittels der \textit{Fourier}-Transformation. Verf. geht darauf aus, die Bedingungen so zu wählen, daß der ganze Prozeß a priori legitimiert ist. Das geht allerdings nur unter sehr engen Voraussetzungen, z. B. daß die Lösungen ganze Funktionen vom Exponentialtyp sind. XI. Lösung von Integralgleichungen ``vom Faltungstyp'' vermittels \textit{Fourier}-Transformation. Sie beruht in bekannter Weise darauf, daß Faltungen in Produkte übergeführt werden. Es werden sehr viele einzelne Beispiele durchgerechnet.