Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations. (Q2600726)

Für die \textit{Fourier}-Transformation \[ g(u) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{iux}f(x)\,dx \equiv Ff(x) \] gilt (bei geeigneter Interpretation des Integrals): \[ f(-x) = Fg(u) = F^2 f(x),\quad f(x) = F^4f(x). \] Die Operation \(F\) erzeugt also eine zyklische Gruppe der Ordnung 4, die mit der Gruppe der Drehungen einer Ebene um einen festen Punkt durch Vielfache eines rechten Winkels isomorph ist. Es wird nun die kontinuierliche Gruppe von Funktionaltransformationen bestimmt, die die Gruppe der \textit{Fourier}-Transformation als Untergruppe enthält. Schreibt man die Transformation, die die kontinuierliche Gruppe erzeugt, als ein Integral, dessen Kern von dem Drehungswinkel \(\theta\) abhängt, so ergibt sich für den Kern bei \(\theta\neq 0\) und \(\neq\pi\) eine bestmimte Exponentialfunktion.