Über die Parsevalsche Gleichung für verallgemeinerte Fouriersche Integrale. (Q2600728)

\textit{Satz 1}. \(f (x)\) und \(g (x)\) seien in \(-\infty < x < \infty\) derart definiert, daß \(\dfrac{|f(x)|^2}{1+x^2}\) und \(\dfrac{|g(x)|^2}{1+x^2}\) in \((-\infty, +\infty)\) integrabel sind; \(U(\alpha)\), \(V (\alpha)\), \(E (\alpha)\) seien die verallgemeinerten \textit{Fourier}-Transformierten von \(f\), \(g\) und \(f\cdot g\) im Sinne von \textit{Bochner}. Dann ist für jedes \(\varepsilon > 0\) \[ \begin{multlined} \frac{E(\alpha + 2\varepsilon) - 2E(\alpha) + E(\alpha -2\varepsilon)}{2\varepsilon}\\ {}= \frac1{2\varepsilon} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bigl(U(\alpha-\beta +\varepsilon)- U(\alpha-\beta-\varepsilon)\bigr) \,\bigl(V(\beta + \varepsilon) - V(\beta - \varepsilon)\bigr)\, d\beta. \end{multlined} \] \textit{Satz 2}. Damit \(F (x)\) in \((-\infty, +\infty)\) durch Integrale \(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\alpha x} \varphi (\alpha)\, d\alpha\) mit \(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\varphi (\alpha) | \,d\alpha < \infty\) gleichmäßig beliebig genau approximierbar sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(F (x)\) stetig ist und für \(|x| \to\infty\) gegen 0 strebt.