Ramanujan and the theory of Fourier transforms. (Q2600730)

Es werden Bedingungen angegeben, unter denen die von \textit{Ramanujan} gefundenen Formeln \[ \begin{multlined} \int\limits_0^\infty\left\{\varphi(0) -\frac{\varphi(1)}{1!} t + \frac{\varphi(2)}{2!} t^2 - +\cdots\right\} \cos xt\,dt \\ {}=\varphi(-1) -\varphi(-3)x^2 +\varphi(-5)x^4-+\cdots, \end{multlined} \] \[ \begin{multlined} \int\limits_0^\infty\left\{\varphi(0) -\frac{\varphi(1)}{1!} t + \frac{\varphi(2)}{2!} t^2 - +\cdots\right\} \sin xt\,dt \\ {}=\varphi(-2)x -\varphi(-4)x^3 +\varphi(-6)x^5-+\cdots \end{multlined} \] richtig sind. Hierauf läßt sich eine Theorie der \textit{Fourier}schen cos- und sin-Transformation aufbauen, allerdings nur für eine sehr enge Klasse von analytischen Funktionen.