Sur diverses décompositions d'un noyau de Fredholm. (Q2600773)

Die Arbeit, deren Anfangsteil noch auf das Jahr 1913 zurückgeht, knüpft an die Kompositionstheorie von \textit{Volterra,} die dieser in seinem Buch: Leçons sur les fonctions de lignes (1913; F. d. M. 44, 458 (JFM 44.0458.*)), Chap. XII, dargestellt hat, eng an. Mit der abkürzenden Bezeichnung \[ \overset{0} K\overset{0} H = \int\limits_a^b K(x,\xi)H(\xi,y)\,d\xi,\quad \overset{0} I\overset{0} K = K(x,y) \] schreiben sich die beiden homogenen assoziierten \textit{Fredholm}schen Integralgleichungen \[ \varphi(x) - \int\limits_a^b K(x,\xi)\varphi(\xi)\,d\xi = 0,\quad \psi(y)- \int\limits_a^b\psi(\xi)K(\xi,y)\,d\xi=0, \] in der Form: \[ \left(\overset{0} I-\overset{0} K\right)\overset{0} \varphi = 0, \qquad\qquad (2)\qquad \overset{0} \psi\left(\overset{0} I-\overset{0} K\right)=0. \tag{2} \] Den Ausdruck \((\overset{0} I - \overset{0} K)\) bezeichnet Verf. als \textit{Fredholm}sches Binom und erkennt diesem den Rang \(n\) zu, wenn (1) \(n\) linear unabhängige Lösungen besitzt. Für \(n = 0\) heißt das Binom regulär. Es werden nun insbesondere die folgenden zwei Sätze über die Zerlegung eines solchen \textit{Fredholm}schen Binoms in ein Kompositions-Produkt ähnlicher Binome bewiesen: I) Besteht die Beziehung \[ \left(\overset{0} I- \overset{0} K\right)= \left(\overset{0} I \overset{0} K_1\right)\left(\overset{0} I - \overset{0} K_2\right)\ldots \left(\overset{0} I- \overset{0} K_p\right), \tag{3} \] wobei die auftretenden Binome vom Range \(n,\, \omega_1,\, \omega_2,\,\ldots,\, \omega_p\) sind, so gelten die Ungleichungen: \[ \begin{gathered} n \leqq\omega_1+\omega_2+\cdots + \omega_p \tag{4}\\ \omega_1 \leqq n,\;\omega_2\leqq n,\;\ldots,\;\omega_p \leqq n \tag{5} \end{gathered} \] und umgekehrt: II) Ist \((\overset{0} I - \overset{0} K)\) vom Rang \(n\) und sind \(\omega_1,\,\ldots,\,\omega_p\) irgend \(p\) Zahlen, die (4) und (5) genügen, so gibt es stets \(p\) Binome \[ \left(\overset{0} I- \overset{0} K_1\right),\;\left(\overset{0} I-\overset{0} K_2\right),\;\ldots,\;\left(\overset{0} I-\overset{0} K_p\right) \] vom Rang \(\omega_1,\,\ldots,\,\omega_p\) derart, daß (3) gilt. Sind insbesondere die Kerne zueinander orthogonal \(\left(\overset{0} K_i\overset{0} K_j= 0\right)\), so gilt in (3) das Gleichheitszeichen. In dem Schlußteil schlägt Verf. die Brücke von seinen Ergebnissen zu bekannten Untersuchungen von \textit{Goursat}.