Topological properties of the solutions of ordinary differential equations. (Q2600837)

Die Lösung \(P(t)\) eines konservativen regulären Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in einer Mannigfaltigkeit sei definiert für \(-\infty<t< +\infty\). Die Lösung wird positiv (negativ) ``pervasive'' genannt, wenn die Menge \(P(t)\) zur \textit{Birkhoff}schen \(\omega\)-Limesmenge \(L_\omega(P)\) (\(\alpha\)-Limesmenge \(L_\alpha(P)\)) von \(P(t)\) gehört. Beides zusammen wird kurz ``pervasive'' genannt. Wenn \(P(t)\) nicht zu \(L_\omega(P)\) gehört, so heißt \(P(t)\) positiv asymptotisch. Wenn \(P(t)\) positiv pervasive ist, so ist \(L_\alpha(P)\) in \(L_\omega(P)\) enthalten; ist \(P(t)\) pervasive, so sind diese beiden Mengen identisch. Eine Art Uniformität der Eigenschaft ``pervasive'' zu sein, wird als die \textit{Birkhoff}sche Rekurrenz erkannt. In diesem Falle haben alle Lösungen, die in \(L_\omega(P)\) enthalten sind, den gleichen Charakter und dieselben Limesmengen; auch können sich die Punkte \(P(t)\) und \(P(t+T)\), \(T\) konstant, nicht unbeschränkt nähern. Im Falle, wo \(P(t)\) nicht rekurrent aber wenigstens halb pervasive ist, werden ausführliche Betrachtungen gegeben über die möglichen Eigenschaften der Lösungen, die in \(L_\omega(P)\) enthalten sind. Es stellt sich heraus, daß wenigstens zwei überall dichte Mengen von Lösungen mit verschiedenen Eigenschaften existieren müssen. Am Ende der Arbeit wird eine Klasse von Beispielen zur Illustration des letztgenannten Falles ausführlich behandelt.