Konvergenzbeweis und Fehlerabschätzung für das Differenzenverfahren bei Eigenwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter und vierter Ordnung. (Q2600857)

Die Schrift handelt von den Eigenwertproblemen \[ \begin{gathered} \frac d{dx}[r(x)f'(x)]+[q(x)+\lambda p(x)]f(x)=0,\qquad (p(x)>0,\;r(x)>0)\tag{1}\\ f(0)=0,\quad f(a)=0;\\ \frac{d^2}{dx^2}[r(x)f''(x)]+\lambda p(x)f(x)=0,\hskip3em\qquad (p(x)>0,\;r(x)>0)\tag{2}\\ f(0)=f(a)=f''(0)=f''(a)=0. \end{gathered} \] Anwendung des Differenzenverfahrens liefert bei einer Einteilung des Grundintervalls \((0,a)\) in \(n\) gleiche Teile von der Länge \(h\) für das Differenzenproblem einen ersten Eigenwert \(\varLambda_1^{(n)}\) der als Annäherung an den ersten Eigenwert \(\lambda_1\) angesehen werden kann. Verf. bestimmt die Größenordnung des Unterschiedes zwischen den beiden ersten Eigenwerten sowohl für (1) wie auch für (2) zu \[ \left|\lambda_1-\varLambda_1^{(n)}\right|<\operatorname{const}\left(\frac an\right)^2, \tag{3} \] wobei er sich auf die Minimaleigenschaft von \(\lambda_1\) und \(\varLambda_1\) stützt, für welche er einen neuen direkten Beweis gibt, der gewisse Berührungspunkte mit der Theorie der zweiten Variation aufweist. Die Abschätzung des Fehlers (3) geschieht durch Aufstellung einer oberen und einer unteren Schranke für \(\varLambda_1^{(n)}\) die der Verf. aus gewissen charakteristischen Eigenschaften der Eigenfunktionen herleitet. Aus diesen Schranken folgt die Fehlerabschätzung (3), durch welche der Verf. eine neue exakte Grundlage für die Anwendung des Differenzenverfahrens auf Eigenwertprobleme geschaffen hat. (IV~17.)