Schranken für den ersten Eigenwert bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (Q2600858)

Verf. behandelt das Eigenwertproblem \[ \begin{gathered} \frac d{dx}[r(x)f'(x)]+\lambda p(x)f(x)=0,\\ f(0)=f(a)=0,\quad a>0, \end{gathered} \] wobei \(r\) und \(p\) stetige positive Funktionen sind und \(r'\) stetig ist. Ist \(y(x)\) irgendeine zulässige Vergleichsfunktion, dann ist bekanntlich \[ Q_1=\frac{\int\limits_0^a ry^{\prime2}\,dx}{\int\limits_0^a py^2\,dx} \] eine \textit{obere} Schranke für den \textit{ersten} Eigenwert \(\lambda_1\). Verf. zeigt, daß \(Q_1-Q\) eine \textit{untere} Schranke für \(\lambda_1\) ist, wenn \(Q\) eine obere Schranke von \[ \frac{\int\limits_0^a r\left(y'-y\dfrac{f'}f\right)^2dx}{\int\limits_0^a py^2\,dx} \] ist. Durch geschickte Abschätzung des Zählers des letzten Bruches gelingt es Verf., den ersten Eigenwert \(\lambda_1\) bei verhältnismäßig geringem Rechenaufwand in praktisch genügend nahe beieinander liegende Grenzen einzuschließen. (IV~17.)