On an equation occurring in Falkner and Skan's approximate treatment of the equations of the boundary layer. (Q2600862)

Bei dem in der Hydrodynamik (laminare Grenzschichten) für eine Funktion \(y(x)\) auftretenden Randwertproblem \[ y'''=-yy''+\beta({y'}^2-1) \] (\(\beta\) ist eine gegebene Konstante) genügen die drei Randbedingungen \[ y(0)=y'(0)=0\text{ \;und \;}\lim_{x\to\infty}y'(x)=1 \] nur bei positivem \(\beta\), um \(y(x)\) eindeutig festzulegen. Bei negativem \(\beta\) kann man die Lösung \(y(x)\) eindeutig machen durch die zusätzlichen Forderungen, daß \(y'(x)\) von unten her gegen den Grenzwert 1 streben und \(y''(0)\) einen möglichst großen Wert haben soll (für die Lösung soll \(y'\) möglichst rasch gegen 1 gehen). Die Bedingung, daß \(y'\) \textit{von unten} her gegen 1 konvergiert, ist nur erfüllbar für Werte \(\beta\), die größer sind als eine feste Zahl \(\beta_0\), die angenähert zu \(\beta_0\approx -0{,}199\) ermittelt wird. Für neunzehn verschiedene Werte von \(\beta\) sind die zugehörigen Werte von \(y''(0)\) und der Verlauf von \(y'(x)\) tabellenmäßig angegeben. Die Bestimmung erfolgte teils durch numerische Integration, teils durch Ermittlung einer Näherungslösung \(y_0\) auf maschinellem Wege (mittels des differential analyser) und nachfolgende iterative Verbesserung nach der Gleichung \[ y^{\prime\prime\prime}_{m+1}=-y_ny_{n+1}^{\prime\prime}+\beta(y_n^{\prime2}-1). \qquad (n=0,1,2,\dots) \] Es zeigte sich, daß die Maschine auf etwa \(1\%{\scriptscriptstyle0}\), oft sogar noch genauer arbeitete. (IV~17.)