Über asymptotische Entwicklungen von Lösungen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung. (Q2600866)

Verf. betrachtet im Reellen eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter \(\lambda\), die sich nach passender Normierung schreiben läßt: \[ u''+\frac{u'}t+\left(\lambda^2-\frac{\nu^2}{t^2}-s(t)\right)u=0 \qquad \text{(\(\nu\) fest, \(s(t)\) bei 0 analytisch).} \] Er gibt eine Skizze ihrer asymptotischen Integration durch Reihen der Gestalt \(\sum\limits_k\dfrac{z_k(t)C_{\nu-k}(\lambda t)}{\lambda_k}\), wo die \(z_k(t)\) von \(\lambda\) unabhängige Funktionen (Potenzreihen in \(t\)), die \(C_{\nu-k}(t)\) die \textit{Bessel}schen Funktionen erster oder zweiter Art sind. Diese Reihen bilden eine Verallgemeinerung der \textit{Szegö}schen asymptotischen Entwicklungen der metasphärischen und \textit{Jacobi}schen Polynome, welche aber nach anderen, auf die speziellen Funktionen zugeschnittenen Methoden (Integraldarstellungen) gewonnen wurden.