Note on a pair of simultaneous differential equations involving two parameters. (Q2600867)

Eine Aufgabe der Wellenmechanik führt auf das System von Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} &\frac d{d\xi}\left\{(\xi^2-1)\frac{dX}{d\xi}\right\}+ \left[-\lambda\xi^2+2R\xi-\frac{m^2}{\xi^2-1}-\mu\right]X=0 \quad (1\leqq\xi\leqq\infty),\tag{I}\\ &\frac d{d\eta}\left\{(1-\eta^2)\frac{dY}{d\eta}\right\}+ \left[\lambda\eta^2-\frac{m^2}{1-\eta^2}+\mu\right]Y=0 \qquad (-1\leqq\eta\leqq 1).\tag{II}\\ \end{aligned} \] Dabei ist \(R>0\) sowie \(m\) als ganze Zahl oder 0 gegeben. Die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) sollen so bestimmt werden, daß die Lösungen \(X(\xi)\) und \(Y(\eta)\) in ihren Intervallen stetig sind und mit ihren Ableitungen beschränkt bleiben; ferner soll \(X\) und \(\dfrac{dX}{d\xi}\) mit wachsendem \(\xi\) gegen null streben. Verf. ergänzt seine früheren Ausführungen (Proc. London math. Soc. (2) 37, 520-534; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 396) durch folgende Betrachtungen: Wählt man in Gleichung (I) \(\mu\) beliebig, so gehören dazu die Eigenwerte \(\lambda_1(\mu)\), \(\lambda_2(\mu)\), \(\lambda_3(\mu)\),\dots. Dies liefert in der \((\lambda,\mu)\)-Ebene eine Schar monotoner Kurven. Ebenso erhält man aus Gleichung (II) bei beliebigem \(\lambda\) eine Schar von monotonen Kurven \(\mu_1(\lambda)\), \(\mu_2(\lambda)\), \(\mu_3(\lambda)\),\dots. Die Schnittpunkte je einer Kurve der ersten Schar mit einer solchen der zweiten Schar führt auf ein zulässiges Wertepaar \(\lambda\), \(\mu\), für welches den Randbedingunen genügende Lösungen von (I) und (II) zugleich vorhanden sind. Die nähere Diskussion der Kurven gibt Aufschlüsse über die Lage der Wertepaare \(\lambda\), \(\mu\). Insbesondere kann die physikalisch wichtige Frage beantwortet werden, daß es stets ein positives \(\lambda\) gibt, für welches nicht verschwindende Lösungen vorhanden sind.