Sulla risoluzione del problema di Dirichlet per il cerchio o per la sfera. (Q2600927)

Verf. gibt einen Weg zur Lösung gewisser Randwertprobleme für den Kreis und die Kugel; die allgemeinste behandelte Aufgabe ist die der Bestimmung einer Funktion, die der Differentialgleichung \[ \varDelta^{2 \nu} \, w=k=\text{ const} \] genügt, und ferner den Randbedingungen \[ w=f_0, \, \frac{\partial w}{\partial n}=f_1, \ldots \!, \frac{\partial^{\nu-1} w}{\partial n^{\nu-1}}=f_{\nu-1}, \] wo die \(f_{\nu}\) gegebene hinreichend oft stetig differenzierbare Funktionen sind und \(\dfrac{\partial}{\partial n}\) die Ableitung nach der inneren Normalen bedeutet. Das Verfahren besteht z. B. im Falle des \textit{Dirichlet}schen Problems darin, auf jeder Sehne durch einen bestimmten inneren Punkt \(P\) in \(P\) zwischen den beiden Randwerten in den Endpunkten der Sehne linear zu interpolieren und das Mittel der so für alle möglichen Sehnenrichtungen gewonnenen Werte zu bilden. Daß so die gesuchte Lösung gewonnen wird, wird durch Zurückrührung auf das \textit{Poisson}sche Integral gezeigt. In analoger Weise werden die allgemeineren Probleme gelöst. Für das \textit{Dirichlet}sche Problem findet sich dieser Lösungsweg übrigens schon bei \textit{Malmheden} (Fysiograf. Sällsk. Lund Förhandl. 4 (1934), Nr. 17; Meddel. Lund Univ. mat. Sem. 1 (1934); F.~d.~M. 60\(_{\text{II}}\), 1133).