Sur un lien entre la théorie des équations aux dérivées partielles et celle des fonctions analytiques d'une variable. (Q2600956)

Die Lösungen der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 U}{\partial z \, \partial \overline z} + A \frac{\partial U}{\partial z} + B \frac{\partial U}{\partial \overline z} + C \, U=0, \] deren Koeffizienten ganze Funktionen von \(z = x + iy\), \(\overline z = x - iy\) sind, lassen sich in der Gestalt \[ U=\int\limits_{-1}^{+1} \{ E_1 \,(z, \, \overline z, \,t) \, f_1 \, [\tfrac{1}{2} \, z \,(1-t^2)] + E_2 \,(z, \, \overline z, \,t) \, f_2 \, [\tfrac{1}{2} \, \overline z \,(1-t^2)] \} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \] darstellen, wobei \(E_1\), \(E_2\) passende ganze Funktionen von \(z\), \(\overline z\) und \(f_1\), \(f_2\) passende analytische Funktionen ihrer Veränderlichen sind. Umgekehrt ist jedes solche Integral bei passenden Funktionen \(E_1\), \(E_2\) und willkürlichen Funktionen \(f_1\), \(f_2\) eine Lösung der Differentialgleichung. Verf. untersucht die Beziehungen der Lösungen \(U\) zu den im Integral auftretenden Funktionen in besonderen Fällen. So genügt z. B. \[ U=\int\limits_{-1}^{+1} \exp \, \left( \sum_{k=1}^{p} \varphi_k \,(z, \, \overline z) \, t^k \right) \, (\tfrac{1}{2} \, z \, (1-t^2) - \alpha)^{-n} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \;\; (n \text{ positiv ganz}) \] nicht nur der obigen Differentialgleichung, sondern auch der Gleichung \[ \frac{\partial^{q+3} U}{\partial z^{q+3}} - \sum_{k=1}^{q+2} \psi_k \, (z, \, \overline z) \, \frac{\partial^k U}{\partial z^k}=0 \qquad (q \leqq p), \] wobei die \(\psi_k\) rationale Funktionen von \(z\), \(\overline z\), \(\varphi_k\) und einer endlichen Anzahl von Ableitungen der \(\varphi_k\) sind, und einer ähnlich gebauten Gleichung, bei der die Ableitungen nach \(\overline z\) genommen sind. Der Fall \(n = 1\) wird besonders untersucht. Sämtliche Sätze sind ohne Beweis veröffentlicht.