Sur des variables aléatoires arbitrairement liées. (Q2601060)

Es mögen die Bezeichnungen des vorigen Referats gelten. Wachsen Mittelwert \(a_n\) und Streuung \(s_n^2\) von \(P_n \,(x)\) wie \(n\) gegen unendlich und wird \[ m_z = \frac{S_z \cdot z!}{a_n^z} \qquad (z=2, \, 3, \ldots) \] sowie \(m_1 = m_0 = 1\) gesetzt, dann gilt der Satz: Ist \(c\) eine endliche Konstante und bezeichnet \(\varDelta^r \, m_z\) die \(r\)-te Differenz der \(m_z\) an der Stelle \(z=0\), dann ist die Bedingung \[ \lim_{a_n \to \infty} a_n^{\frac{r}{2}} \cdot \varDelta^r \, m_z = \left\{ \begin{matrix}\l &\quad \l \\ \dfrac{(2 \mu)!}{\mu !} \cdot \left( \dfrac{c}{2} \right)^{\mu} & \text{für} \quad r=2 \mu \\ 0 & \text{für} \quad r=2 \mu +1 \end{matrix} \right. \] \((\mu = 0, \,1, \,2, \ldots)\) hinreichend dafür, daß \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{\xi - a_n \leqq s_n \, u} P_n \,(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \int\limits_{- \infty}^{u} e^{- \frac{x^2}{2}} \, dx \] gilt. Der Satz wird auf das ``jeu de rencontre'' und ein Aufteilungsproblem angewendet.